Este fue el tema de Tesis de maestría de David Brander. Aquí reafirmaré las partes más relevantes. El plano hiperbólico con curvatura $-2$ no se incrusta en la hiperbólica $3$ -espacio de curvatura $-1$ . Parece ser que no se sabe si se incrusta en $4$ -, $5$ - o $6$ -espacio de curvatura $-1$ . Hay una incrustación en $\mathbb R^6$ construido por D. Blanusa en los años 50, y por supuesto $\mathbb R^6$ se incrusta en cualquier hiperbólica $7$ -espacio.
De forma más general, dejemos que $Q_c^n$ sea el (simplemente conectado) $n$ -forma espacial de curvatura $c$ . Es fácil incrustar $Q_c^n$ en $Q_{\tilde c}^{n+1}$ cuando $c>\tilde c$ . El caso $c<\tilde c<0$ es mucho más difícil. Este es el resumen de los resultados de la incrustación para $c<\tilde c<0$ :
- existe una incrustación isométrica de $Q_c^n$ en $Q_{\tilde c}^{6n-5}$
- no existe una incrustación isométrica de $Q_c^n$ en $Q_{\tilde c}^{2n-2}$ (hacerla $2n-1$ si $n=2$ )
Y si su colector no está simplemente conectado, entonces no sé cómo la curvatura constante puede ayudar. Probablemente necesites la incrustación de tipo Nash-Kuiper. Para compacto superficies la dimensión de incrustación era reducido a $5$ por Gromov (objetivo euclidiano). No sé si la prueba se extiende al objetivo hiperbólico, pero en cualquier caso se obtiene una incrustación en $H^6$ .
