Usando tu primer método, el número de ingresados en la fila $r$ columna $c$ es el menor entero no negativo que no aparecen anteriormente en fila $r$ o de la columna de $c$; llamar a este número $r\oplus c$. A continuación, $r\oplus c$ es el menor entero no negativo que hace que no pertenecen al conjunto
$$\{r\oplus c':c'<c\}\cup\{r'\oplus c:r'<r\}\;;$$
esto se conoce comúnmente como el mínimo número de excluidos y se denota por
$$\operatorname{mex}\Big(\{r\oplus c':c'<c\}\cup\{r'\oplus c:r'<r\}\Big)\;,$$
como en este artículo. Esto es igual a la no-realización de suma binaria (o O exclusivo) de $r$$c$. El artículo ofrece una prueba, pero es bastante conciso; voy a tratar de ampliar un poco. Para enteros no negativos $m$ $n$ deje $m\dot+n$ ser la no-realización de suma binaria de $m$$n$.
La prueba es por inducción. Supongamos que ya hemos rellenado todos los números de $r\oplus c'$$c'<c$$r'\oplus c$$r'<r$, es decir, todos los números a la izquierda de $r\oplus c$ de la fila $r$ y por encima de ella en la columna $c$, y supongamos que ese $r\oplus c'=r\dot+c'$$c'<c$$r'\oplus c=r'\dot+c$$r'<r$; vamos a demostrar que esto implica que $r\oplus c=r\dot+c$.
Deje $n=r\dot+ c$. A continuación,$r\dot+n=r\dot+r\dot+c=c$, ya que el $r\dot+r=0$; es decir, $c$ es el único número entero no negativo cuya noncarrying suma binaria con $r$$n$. De ello se desprende que $r\oplus c'=r\dot+c'\ne n$ por cada $c'<c$ y que, por ende,$n\notin\{r\oplus c':c'<c\}$. Del mismo modo, $r$ es el único número entero no negativo cuya noncarrying suma binaria con $r$$n$, lo $r'\oplus c=r'\dot+c\ne n$ por cada $r'<r$, e $n\notin\{r'\oplus c:r'<r\}$. En otras palabras, $n\notin\{r\oplus c':c'<c\}\cup\{r'\oplus c:r'<r\}$: $n=r\dot+c$ no aparece a la izquierda de o por encima de $r\oplus c$ y al menos un candidato a ser $r\oplus c$.
Ahora supongamos que $k<n=r\dot+c$; queremos demostrar que las $k\in\{r\oplus c':c'<c\}\cup\{r'\oplus c:r'<r\}$, es decir, que $k$ aparece a la izquierda de o por encima de $r\oplus c$, por lo que el $r\oplus c\ne k$. Esto implica que el $n$ es el menor número disponible y por lo tanto el valor que le asignamos a $r\oplus c$. Para ello, vamos a $\ell=k\dot+n=k\dot+r\dot+c$.
Reclamo: Cualquiera de las $r>\ell\dot+r=k\dot+c$ o $c>\ell\dot+c=k\dot+r$.
Supongamos por el momento que la afirmación es verdadera. Si $r>k\dot+c$, vamos a $r'=k\dot+c$; a continuación, $k=(k\dot+c)\dot+c=r'\dot+c=r'\oplus c$ aparece a la izquierda de $r\oplus c$ de la fila $r$ y no está disponible para ser $r\oplus c$. Del mismo modo, si $c>k\dot+r$, vamos a $c'=k\dot+r$; a continuación, $k=r\dot+(k\dot+r)=r\dot+c'=r\oplus c'$ aparece por encima de $r\oplus c$ en la columna $c$ y no está disponible para ser $r\oplus c$. En cualquier caso, $k$ no está disponible para ser $r\oplus c$. Desde $k$ fue arbitraria entero no negativo menor que $n=r\dot+c$, se deduce que el $n$ es el más pequeño disponible entero y que, por ende,$r\oplus c=n=r\dot+c$. Esto completa el paso de inducción (aparte de la prueba de la demanda), y el resultado de la siguiente manera.
Prueba de Reclamación: Considerar la más importante (izquierda) de bits de la representación binaria de $\ell$: debe estar presente en exactamente uno o todos los tres de $k,r$, e $c$. Si que poco estaban presentes en $k$, sería ceros en $\ell\dot+k$, que luego sería menos de $k$. Sin embargo, $\ell\dot+k=r\dot+c=n>k$, por lo que este no es el caso, y por lo tanto debe estar presente en $r$ o en $c$. Pero luego el mismo argumento muestra que si se encuentra presente en $r$,$\ell\dot+r<r$, y si se encuentra presente en $c$,$\ell\dot+c<c$, lo que demuestra la demanda. $\dashv$
