Prueba $10^{n+1}+3\cdot 10^n+5$ es divisible por $9$ ?

Question

¿Cómo puedo demostrar que un número entero de la forma $10^{n+1}+3\cdot 10^{n}+5$ es divisible por $9$ para $n\geq 1$ Intenté demostrarlo por inducción y pude demostrarlo para el caso base n=1. Pero me quedé atascado al probar el caso general. ¿Alguien puede ayudarme? Gracias.

Answer 1

Desde $$10\equiv 1 \mod 9$$ obtenemos $$10^{n+1}+3\cdot 10^n+5\equiv 1+3+5=9\equiv 0\mod 9$$

Answer 2

Esto se puede demostrar por inducción.

Para $n=1$ la expresión dada se convierte en

$10^{1+1}+3.10+5=135$ que es divisible por 9.

Supongamos que la afirmación dada es verdadera para $k\ge1$ es decir, $10^{k+1}+3.10^k+5$ es divisible por $9$ .

Entonces, $10^{(k+1)+1}+3.10^{k+1}+5=10^{k+2}+3.10^{k+1}+50-45$

\= $10(10^{k+1}+3.10^k+5)-45$ es divisible por 9.

Answer 3

$10^{n+1}+3\cdot 10^{n}+5=10^{n}(10+3)+5=1300\cdots05$ tiene una suma de dígitos igual a $9$ y por lo tanto es un múltiplo de $9$ .

Answer 4

Normalmente utilizaría congruencias, pero esto se puede hacer explícitamente.

$$ 10^{n+1}+3\cdot 10^{n}+5 = 9 \cdot \underbrace{11 \cdots 1}_{n+1} + 1 + 9 \cdot \underbrace{33 \cdots 3}_{n} + 3 + 5 =\\= 9 \cdot (\underbrace{11 \cdots 1}_{n+1} + \underbrace{33 \cdots 3}_{n} + 1) = 9 \cdot 1\underbrace{44\cdots 4}_{n-1}5. $$

Answer 5

Prueba por inducción:

• Caso base: $10^{0+1}+3\cdot10^{0}+5=18$
• Supuesto: $10^{n+1}+3\cdot10^{n}+5=9k$
• Paso inductivo:

$10^{n+2}+3\cdot10^{n+1}+5=$

$10^{n+2}+3\cdot10^{n+1}+50-45=$

$10(\color\red{10^{n+1}+3\cdot10^{n}+5})-45=$

$10(\color\red{9k})-45=$

$9(10k)-45=$

$9(10k-5)$