¿Extensión continua de espacios euclidianos?

Question

Me pregunto si es posible "continuamente" aumentar la dimensión de la distancia Euclídea espacios - en otras palabras, sería posible definir Euclidiana espacios de no-entero dimensiones, con un bonito propiedades topológicas?

He pensado en la manera de generalizar el espacio Euclidiano con la dimensión real no negativo, y aquí están algunos de los axiomas que he puesto.

Una secuencia $\mathcal{R}$ generalizada de espacios topológicos está dada por los siguientes datos y propiedades:

• Para cada real no negativo $d \geqslant 0$, le corresponde un espacio topológico $\mathcal{R}(d)$.
• Si $d \geqslant 0$ es un número entero, entonces $\mathcal{R}(d)$ es homeomórficos a $\mathbb{R}^d$.
• Si $d, e \geqslant 0$ satisface $d \neq e$, $\mathcal{R}(d)$ $\mathcal{R}(e)$ no homeomórficos el uno al otro.
• Para cada par de reales no negativos $d \geqslant e \geqslant 0$, le corresponde una incrustación de objetos (es decir, una continua inyección) $\rho_{ed} : \mathcal{R}(e) \rightarrow \mathcal{R}(d)$.
• Si $d \geqslant 0$, $\rho_{dd}$ es una identidad de la función en $\mathcal{R}(D)$.
• Si $d \geqslant e \geqslant f \geqslant 0$,$\rho_{ed} \circ \rho_{fe} = \rho_{fd}$.

Las secuencias de Euclídeo generalizado de los espacios, sin embargo, podría no ajustarse-en teoría única, por lo que podemos definir isomorphisms entre dichas secuencias. Dos secuencias de $\mathcal{R}_1$ $\mathcal{R}_2$ de Euclídeo generalizado espacios se dice que son isomorfos si:

• Existe una adecuada asignación de $\varphi : \mathbb{R}_{\geqslant 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\geqslant 0}$.
• Para todos $d \geqslant 0$, $\mathcal{R}_1(d)$ y $\mathcal{R}_2(\varphi(d))$ son homeomórficos el uno al otro.

Ahora yo me pregunto si tal secuencia de Euclídeo generalizado espacios existe, y si es única hasta el isomorfismo siempre que éste exista.

Cualquier comentario sobre cualquiera de existencia y unicidad del problema o contexto general de la pregunta sería muy apreciada.

Answer 1

Tal vez no una respuesta; demasiado largo para un comentario.

Los matemáticos suelen buscar generalizaciones cuando tienen que resolver un problema más que una definición que parece como si podría ser generalizable, así que mi primera pregunta sería "¿por qué quieres hacer esto, aparte del hecho de que parece interesante?"

Usted podría empezar a pensar acerca de los fractales, que son objetos geométricos bien definidos, dimensión fractal , que no necesita ser integral.

Una búsqueda en google para anidada fractal encontrado un montón de enlaces; tal vez algunos de ellos serán fructíferos. También se podría tratar de fractal de la incrustación o otros sinónimos que puedan abordar su cuarta viñeta.

Answer 2

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$Aquí una esbozado la construcción de una creciente familia de subconjuntos de a $\Reals^{\infty}$ (el espacio de eventualmente cero secuencias de reales) que satisface la declaró axiomas, modulo de la existencia de un conjunto de valores de la función $P:[0, 1) \to \mathcal{P}(\Reals)$ con las propiedades que si $0 \leq s < t < 1$, $P(s) \subset P(t)$ es un subconjunto no homeomórficos a $P(t)$. (Un estudio prospectivo $P$ es dejar a $K$ denotar el ternario de Cantor conjunto, usar el axioma de elección para corregir un bijection $p:(0, 1) \to K$, y a tomar las $P(0) = \varnothing$ $P(d) = p(0, d)$ si $0 < d < 1$.)

Para cada entero positivo $k$, identificar a $\Reals^{k}$ con el conjunto de secuencias en $\Reals^{\infty}$ cuyo primer $k$ componentes son arbitrarias y todos los componentes restantes son cero.

Arreglar un aumento de la bijection $h:[0, 1) \to [0, \infty)$,$h(x) = x/(1 - x)$.

Si $k \leq d < k+1$, definir $$\begin{align*} \Reals(d) &= \bigl[\Reals^{k} \times (-h(d - k), h(d - k))\bigr] \cup \bigl[P(d - k) \times \Reals^{k}\bigr] \\ &= \{(x_{j})_{j=1}^{\infty} \in \Reals^{k+1} : |x_{k+1}| < h(d - k) \text{ or } x_{1} \in P(d - k)\}. \end{align*}$$ La idea es "espesar" $\Reals^{k}$ monótonamente ampliando a lo largo de la $(k + 1)$th coordinar, mientras que "marcan" el resultado con el cilindro $P(d - k) \times \Reals^{k}$ para obtener mutuamente no homeomórficos conjuntos.

Al $d = k$, el intervalo abierto $(-h(d - k), h(d - k))$ debe ser interpretado como el singleton $\{0\}$, por lo que el $\Reals(k) = \Reals^{k}$ al $k$ es un número entero. Las incrustaciones $\rho_{ed}$ se establece en la teoría de las inclusiones.

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Suponiendo que esta construcción (o algo parecido) funciona, no hay esperanza de "singularidad hasta isomorfismo". No he revisado cuidadosamente los detalles, sin embargo, e invitar a otros a reforzar o modificar esta respuesta en consecuencia. (Es probable que hay mejores maneras para "etiquetar" el engrosamiento, es decir, los procedimientos que generan el aumento de familias de conjuntos que son claramente pares no homeomórficos.)