Convergencia uniforme de $(\sin x)^n$

Question

¿Es la secuencia de funciones $(\sin(x))^n$ uniformemente convergente en $[0,\pi]$? Puede usted darme un Consejo o solución, tengo ya probar ya que es UC en $[0,1]$ pero no sé cómo proceder en $[1,\pi]$.

Answer 1

Sugerencia: encuentra el límite del pointwise de esta secuencia de funciones $[0,\pi]$. Si una secuencia es uniformemente convergente entonces su límite es una función continua. ¿Es continua en este caso?

Answer 2

¿No es uniformemente convergente: en $\pi/2$ tenemos $\sin(\pi/2)=1$ y por lo tanto $$ \sin (\pi/2) ^ n\to 1 $$ lo que pasa en todas partes donde lo $\sin(x)<1$?