¿Cuántas palabras se pueden formar con letras tales que las 2 primeras letras sean...

Question

Suponemos que cualquier combinación de letras es una palabra y debemos tener en cuenta la repetición porque eso significaría la misma palabra.

¿Cuántas palabras se pueden formar utilizando todas las letras de la palabra EXAMEN de forma que las 2 primeras sean consonantes diferentes y las 2 últimas sean vocales diferentes?

Bien, este es mi enfoque.

Hay 4 consonantes diferentes y 6 vocales (con 2 I y A idénticas)

Así que ${{4} \choose {2}}(2!)$ serían las consonantes y ${6 \choose 2}(2!) $ serían las vocales (aún incluyendo la repetición por ahora)

¡Ahora tomaría estos dos y los multiplicaría por 7! ¡Todo sobre 2! 2! 2! Para tener en cuenta la repetición y obtener 226800. ¿Es esto correcto?

Answer 1

(Después de pensarlo un poco más, esta es una solución más corta, y en cierto modo similar a la publicada por true blue anil anteriormente; la respuesta original publicada se da después de esta)

• Supongamos que todas las letras son diferentes, es decir, que no se repiten. Por ejemplo, las dos $N$ s son $N_1$ y $N_2$ .
• La cabeza: Número de arreglos con consonantes solamente = $^5P_2$ .
• Eliminación de los arreglos para las mismas consonantes de base ( $N_1 N_2, N_2 N_1$ ) da $^5P_2-2$ .
• Cuerpo: Número de arreglos = $7!$ .
• Cola: Número de arreglos sólo con vocales = $^6P_2$ .
• Eliminación de los arreglos para las vocales de la misma base ( $I_1 I_2, I_2I_1, A_1A_2, A_2A_1$ ) da $^6P_2-4$ .
• En general : El número total de arreglos, normalizando las repeticiones, viene dado por

$$\frac {({^5P_2}-2)\cdot 7!\cdot ({^6P_2}-4)}{2!\ 2!\ 2!}=\frac {18\cdot 7!\cdot 26}{8}=294840\;\blacksquare$$

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(Lo que sigue a continuación es la respuesta original publicada, que es un poco más larga y utiliza un enfoque diferente)

Observamos los siguientes puntos:

• Por la forma en que está estructurada la pregunta, podemos centrarnos en el número de formas de construir la Cabeza (2 letras), la Cola (2 letras) y el Cuerpo (7 letras).
• No hay repeticiones en la Cabeza y la Cola, por lo que las repeticiones se producen -si lo hacen- sólo en el Cuerpo.

Cabeza

• (a) Si la cabeza contiene 1 N ( $3\times 2=6$ ), entonces hay $0$ repetir N en el cuerpo
• (b) Si la cabeza contiene 0 N ( $^3P_2=6$ ), entonces hay $1$ repetir N en el cuerpo.

Cola

• (1) Si la Cola contiene un 1 A y un 1 I ( $2$ arreglos: AI, IA), entonces hay $0$ repetir A o I en el cuerpo

• (2) Si la Cola contiene 1 A o 1 I ( $8$ arreglos: $^4P_3-2-2$ ), entonces hay $1$ repetir I o A respectivamente en el cuerpo

• (3) Si la Cola contiene 0 A y 0 I ( $2$ arreglos: EO, OE), entonces hay $2$ repeticiones (una para A e I) en el cuerpo.

Cuerpo

• El número de disposiciones de las letras en el cuerpo depende del número de repeticiones y viene dado por $7!/(2!)^n$ donde $n$ es el número de repeticiones en el cuerpo para una determinada combinación Cabeza-Cola, aportadas tanto por la Cabeza como por la Cola.

Permutaciones

El número de arreglos o permutaciones que dan las diferentes combinaciones Cabeza-Cola son las siguientes:

(a) (1): $6\times 2\times {7!}/{(2!)^{0+0}}\color{lightgrey}{=6\times 16\times 7!/(2!)^3}=\;\;60480$
(a) (2): $6\times 8\times {7!}/{(2!)^{0+1}}\color{lightgrey}{=6\times 32\times 7!/(2!)^3}=120960$
(a) (3): $6\times 2\times {7!}/{(2!)^{0+2}}\color{lightgrey}{=6\times \ \ 4 \times 7!/(2!)^3}=\;\;15120$
(b) (1): $6\times 2\times {7!}/{(2!)^{1+0}}\color{lightgrey}{=6\times \ \ 8\times 7!/(2!)^3}=\;\;30240$
(b) (2): $6\times 8\times {7!}/{(2!)^{1+1}}\color{lightgrey}{=6\times 16\times 7!/(2!)^3}=\;\;60480$
(b) (3): $6\times 2\times {7!}/{(2!)^{1+2}}\color{lightgrey}{=6\times \ \ 2 \times 7!/(2!)^3}=\;\;\;\;7560$

Número total de acuerdos $\color{lightgrey}{=6\times 78\times 7!/(2!)^3} =294840\;\; \blacksquare$

Answer 2

1. En los 2 extremos, tanto para las consonantes como para las vocales,

   habrá $^4P_2$ = 12 patrones, produciendo 12*12 = 144 patrones

2. N es 1 de 4 consonantes distintas, por lo que en 3 casos no será necesaria la corrección por duplicación.

3. La A y la I son dos vocales distintas en 4, por lo que en 6 casos, la corrección de un la duplicación no será necesaria.

4. Por lo tanto, la corrección completa de la duplicación mediante la división por 2! 2! 2 será necesaria en 9*6 = 54 casos, la corrección de la duplicación de la consonante se anulará en 3*6 = 18 casos, la de la vocal en 9*6 = 54 casos y la de la vocal y la consonante en 3*6 = 18 casos

5. Podemos ponderar los 144 casos para obtener

   ans = 7!( $\frac{54}{8} + \frac{18}{4} + \frac{54}{4} +\frac{18}{2}$ ) = 170,100

Editar

Por alguna oscura razón, consideré que la consonante y la vocal extremas estaban fuera del ámbito de la duplicación, por lo que la respuesta anterior es incorrecta.

Edición 2

Corrigiendo el error de interpretación, hagamos las letras duplicadas en minúsculas para empezar, así X M T N n para las consonantes y E A a I i O para las vocales. Así que $^5C_2$ -1 = 9 combos en un extremo & $^6C_2$ - 2 = 13 combos en el otro, excluyendo los que tienen Nn, Aa o Ii en los extremos. Los arreglos en los extremos serán 18 y 26 respectivamente.

Por lo tanto, 18*26*7!/(2!)³ = 294.840