¿Qué se puede decir de una cartografía $f : \Bbb Z\to \Bbb Q$ ?

Question

Escrito con StackEdit . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones puede ser cierta para un mapeo $$ f : \Bbb Z \to \Bbb Q $$
A. Es biyectiva y creciente
B. Es onto y decreciente
C. Es biyectiva y se satisface $f(n) \ge 0$ si $n \le 0$
D. Tiene imagen incontable

Este es mi intento de encontrar un mapeo que satisfaga el método C(Following para demostrar la contabilidad de $\Bbb Q$ de Stephen Abbot )

Definir $A_n = \{ \frac ab : a,b\ge 0, \gcd(a,b) = 1,a+b=n,b \ne 0 \}$

$B_n = \{ \frac {-a}{b} : a,b > 0, \gcd(a,b) = 1, a+b = n \} $

Asignación de los enteros negativos y el 0 al conjunto $A_n \forall n \in \Bbb N$ y enteros positivos al conjunto $B_n \ \forall n \ \in \Bbb N$ de la misma manera que Stephen Abbot, el mapeo será surjetivo porque los conjuntos $A_n$ y $B_n$ cubriría sin duda $\Bbb Q$ y sería inyectiva porque no hay dos conjuntos que tengan elementos en común.

Respuesta correcta - C
Fuente - Tata Institute of Fundamental Research Graduate Studies 2014

¿Es correcta mi prueba? En cualquier caso, no puedo imaginar que este método sea necesario en este problema, así que ¿hay un mapeo más "fácil"? Además, ¿por qué no podemos tener un mapeo como el deseado en A y B?

Answer 1

A. Falso. Supongamos que $f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ es biyectiva y creciente. Entonces $f(0)<f(1)$ . Toma $q\in\mathbb{Q}$ con $f(0)<q<f(1)$ . Entonces $q=f(n)$ ¿ves la contradicción?

B. Falso. El mismo argumento que antes.

D. Falso. La imagen es un subconjunto de $\mathbb{Q}$ .

C. Verdadero. Tu argumento es bueno, pero se puede formalizar mejor.

Toma tu bijuque favorito $g\colon\mathbb{N}\to\mathbb{Q}_{>0}$ (racionales positivos). Ahora definamos $$ f(n)=\begin{cases} -g(n-1) & \text{if $n>0$}\\[4px] 0 & \text{if $n=0$}\\[4px] g(-n+1) & \text{if $n<0$} \end{cases} $$ (Nota: $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dotsc\}$ ).