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Question

Estoy tratando de saber que uno es más grande: $$\log_9 71$$ or $% $ $\log_8 61$¿Cómo puedo saber sin usar una calculadora?

Answer 1

OK, así que tenemos $$\frac{61}{64}>\frac{71}{81} \implies \log_{8}\left(\frac{61}{64}\right)>\log_{9}\left(\frac{71}{81}\right)\cdot\log_{8}(9)>\log_{9}\left(\frac{71}{81}\right)$ $ por el uso del cambio de base de la fórmula y el hecho de que $\log_{8}(9)>1$, que es trivial.

Answer 2

$$\log_8 61 = \log_8\left(64\left(1-{3 \over 64}\right)\right) = 2 + \log_8\left(1 - {3 \over 64}\right)$$

$$\log_9 71 = \cdots = 2 + \log_9 \left( 1 - {10 \over 81}\right)$$

Vamos a soltar el 2s y tenga en cuenta que ambos valores son negativos.

$$\log_8\left(1 - {3 \over 64}\right) = {\log(1 - 3/64) \over \log 8} = { 2 \log (1 - 3/64) \over 2 \log 8 } = {\log\left(\left(1-{3 \over 64}\right)^2\right) \over \log 64}$$

Ahora tenga en cuenta que

$$\left(1-{3 \over 64}\right)^2 > 1 - {6 \over 64} > 1 - {6.4 \over 64} = 1 - {8.1 \over 81} > 1 - {10 \over 81}$$

por lo que

$${\log\left(\left(1-{3 \over 64}\right)^2\right) \over \log 64} > {\log \left( 1 - {10 \over 81} \right) \over \log 64} > {\log \left( 1 - {10 \over 81} \right) \over \log 9} = \log_9 \left( 1 - {10 \over 81} \right)$$

Así, $\log_8(61)$ es mayor.

Answer 3

Observe que $\log_8:(0,\infty) \to \mathbb{R}$ es estrictamente cóncava. Esto significa que tenemos $$\log_8{\left( \frac{x+y}{2}\right)} > \frac{\log_8{x}+\log_8{y}}{2} \implies \log_8{\left( \frac{x+y}{2}\right)^2} > \log_8{(xy)}$ $

Desde $\log_8{9} >1$, podemos concluir %#% $ #%

Que $$\log_8{\left( \frac{x+y}{2}\right)^2} > \frac{\log_8{(xy)}}{ \log_8{9}}$ y $x = \sqrt{61}-i\sqrt{10}$. Conectar estos (esto está bien porque desaparecen piezas imaginarias), encontramos que el $y = \sqrt{61}+i\sqrt{10}$ $

Answer 4

Se puede cambiar la base del logaritmo y poner ambas en la misma base y luego sabes registro cuya base es mayor que 1 es la media luna roja para que pueda encontrar fácilmente lo que es el más grande.
Cambiar la fórmula: $\log_b x = \frac{\log_a x} {\log_a b}$

Answer 5

Si se nos permite utilizar cálculo, podemos obtener una estimación algo formal de ambos números: $$\log_9 (71) = \log_9 (81) + \log_9(71/81) = 2 + \log_9 \left(1 - \frac{10}{81}\right) \approx 2 - \frac{1}{2 \ln 3}\left(\frac{10}{81}\right), \\ \log_8 (61) = \log_8 (64) + \log_8 (61/64) = 2 + \log_8 \left(1 - \frac{3}{64}\right) \approx 2 - \frac{1}{3 \ln 2}\left(\frac{3}{64}\right).$ $ uso áspero estima como $\ln 2 \approx 0.7$, $\ln 3 \approx 1.1$, $\frac{10}{81} \approx \frac{1}{8} = 0.125$ y $\frac{3}{64} \approx \frac{3}{60} = 0.05$ obtenemos %#% $ #% lo $$\log_9 (71) \approx 2 - \frac{1}{2.1}(0.125) \approx 2 - 0.06 \approx 1.94, \qquad (\text{exact: } \log_9 (71) = 1.940\ldots) \\ \log_8(61) \approx 2 - \frac{1}{2.2}(0.05) \approx 2 - 0.025 \approx 1.975. \qquad (\text{exact: } \log_9(61) = 1.976\ldots)$.