Maximizando matrices simétricas vs matrices no simétricas

Question

Se apreciará rápida aclaración sobre lo siguiente.

Sé que para una matriz simétrica real $M$, el máximo de $x^TMx$ sobre todo unidad vectores $x$ da el valor propio más grande de $M$. ¿Por qué es necesaria la condición de "simetría"? ¿Qué pasa si mi matriz no es simétrica? ¿No es el máximo de valor propio más grande inmóvil de la #% del $x^TMx=$% #%?

Gracias.

Answer 1

Puede descomponer cualquier matriz asimétrica $M$ en sus componentes simétricas y antisimétrica, $M=M_S+M_A$, donde $$ \begin{align} M_S&=\frac12(M+M^T),\\ M_A&=\frac12(M-M^T). \end{Alinee el} $$ Observe que $x^TM_Ax=0$ porque $M_A=-M_A^T$. Entonces $$x^TMx=x^T(M_S+M_A)x=x^TM_Sx+x^TM_Ax=x^TM_Sx.$ $ por lo tanto, cuando se trata de la forma $x^TMx$, así suponemos $M$ ser simétrica; Si no fuera, podríamos reemplazarlo con su parte simétrica $M_S$ y nada cambiaría.

Answer 2

La razón por la que el máximo de $x^T M x$ (creo que quiso decir "sobre el conjunto de la $x$'s tal que $\|x\|_2 = 1$", porque si no añadir que la condición de su máximo no está definido) es el mayor autovalor de a $M$ es debido a que cualquier plaza real, la matriz puede ser factorizado como $$ M = Q_1^T D Q_2 $$ donde $Q_1$ $Q_2$ son ortogonales y $D$ es una matriz diagonal que contiene los autovalores de a $A$ en su diagonal. Al $M$ es simétrica, tenemos $Q_1 = Q_2 = Q$, lo que $$ x^T M x = x^T Q^T D P x = (Qx)^T D (Qx) $$ y desde $Q$ es ortogonal, no sólo es invertible, sino que también preserva distancias, por lo que $$ \max_{\|x\| = 1} x^T M x = \max_{\| x \| = 1} (Qx)^T D (Qx) = \max_{\|x\| = 1} x^T D x. $$ Ahora, yo creo que usted dijo que usted sabía que el mayor autovalor de a $A$ fue este máximo, así que supongo que usted entienda cómo calcular este último máximo para ser el mayor autovalor de a $M$ (es un simple multiplicador de Lagrange argumento que le da ese extremums se logra en donde los $x$ es un autovector de a $D$.)

Ahora si $M$ no es simétrica, ninguna de estas cosas se aplican porque las cosas comenzaron a verse mejor cuando asumí $Q_1 = Q_2 = Q$. Pero se puede mostrar que $$ \M |\|_2 = \sqrt{ \rho(M^T M) } $$ donde $\rho( M^T M)$ es la norma espectral de $M$, es decir, $\rho(M^TM)$ es el mayor autovalor (en valor absoluto) de $M^TM$. Al $M$ es simétrica, $M^T = M$ y el espectro de la norma es simplemente el cuadrado de la mayor autovalor de a $M$, por lo que sabemos que todavía funciona. Pero en general los eigen valores de $M^T M$ no son los cuadrados de los valores propios de a $M$ porque $M^T$ $M$ no tienen los mismos vectores propios si $M$ no es simétrico, por lo que los mismos argumentos no se aplican en general.

Tomemos como ejemplo $$ M = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}. $$ Usted puede ver fácilmente que su polinomio característico es sólo $\lambda^2 - 2$, por lo que sus valores propios son $\pm \sqrt 2$. Pero si se utiliza la fórmula anterior, $$ M^T M = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}. $$ Por lo tanto, el mayor autovalor de a$M^T M$$4$, por lo tanto $\|M \| = 2 > \sqrt 2, -\sqrt 2$. Tal vez eso era más convincente.

Espero que ayude,