Buena fórmula para$\sum\limits_{d|n}(-1)^{n/d}\Phi(d)$?

Question

¿Cómo puedo evaluar

ps

$$\sum_{d|n}(-1)^{n/d}\Phi(d)?$ es la función totient de Euler. Gracias.

Answer 1

Estamos realizando Dirichlet convolución en $(-1)^k$$\Phi(k)$. La correspondiente Dirichlet funciones de generación de estas dos secuencias son

$$\begin{align*}\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}&=\sum_{k=1}^\infty \frac{\Phi(k)}{k^s}\\(2^{1-s}-1)\zeta(s)&=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^s}\end{align*}$$

donde $\zeta(s)$ es de Riemann de la función.

El producto de estas dos funciones de generación es la generación de la función de la convolución; por lo tanto, buscar la de la serie de Dirichlet para $(2^{1-s}-1)\zeta(s-1)$.

Tenemos la Dirichlet $\lambda$ función

$$\lambda(s)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1-(-1)^k}{2k^s}=(1-2^{-s})\zeta(s)$$

y vemos que nuestra generación de la función es, precisamente,$-\lambda(s-1)$. Por lo tanto, la de Dirichlet convolución de $\Phi(k)$ $(-1)^k$ es

$$-\dfrac{k(1-(-1)^k)}{2}=\begin{cases}-k&\text{odd }k\\0&\text{even }k\end{cases}$$

Answer 2

Puede utilizar la fórmula

$$\sum_{d | n} \Phi(d) = \sum_{d | n} \Phi\left(\frac{n}{d}\right)= n$$

Y considerar

$$\sum_{d | n} \Phi\left(\frac{n}{d}\right) + \sum_{d | n} (-1)^{d} \Phi\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{d | n} (1+(-1)^{d}) \, \Phi\left(\frac{n}{d}\right) = 2 \sum_{2d | n} \Phi\left(\frac{n}{2d}\right)$$

Si $n$ es impar, entonces esto es igual a $0$. De lo contrario, obtendrá

$$2 \sum_{2d | n} \Phi\left(\frac{n}{2d}\right) = 2 \sum_{d | n/2} \Phi\left(\frac{n/2}{d}\right) = n$$

Así suma es $-n$ si $n$ es impar, de lo contrario, es $0$. Se puede resumir como

$$\sum_{d | n} (-1)^{n/d} \Phi\left(d\right) = \sum_{d | n} (-1)^{d} \Phi\left(\frac{n}{d}\right) = \frac{(-1)^n-1}{2} . n$$