Usando el teorema de la reflexión

Question

He estado leyendo acerca de la Reflexión Teoremas en Kunen de 2011 de la Teoría de conjuntos libro. La idea de que $ZFC \not \vdash \exists \gamma [V_\gamma \models ZFC]$, pero $ZFC \vdash \exists \gamma [V_\gamma \models ZC \cup \Lambda]$ para una lista limitada $\Lambda$ de la instancia de la Sustitución Axioma parecía realmente interesante.

Después de probar este resultado con modelos transitivos, Kunen menciona que también podemos dejar que $\Lambda$ ser un conjunto finito de oraciones. Sin embargo, menciona que estamos en dificultad cuando hacemos uso de fórmulas y que nosotros no podemos, en general obtener esta declaración para ser verdad. A continuación se da un ejercicio para mostrar un ejemplo de cuando esta es verdadera.

Asumir el Axioma de Elección. Encontrar una fórmula $\varphi$ de manera tal que cada transitiva $M$ satisfacción $M \preccurlyeq_{\varphi} V$ es de la forma $V_\gamma$ algunos $\gamma = \beth_\gamma$.

Él también da una pista: $\varphi$ $\varphi_0(x) \wedge \varphi_1$ donde $\varphi_0(x)$ dice que $x$ es el conjunto de la forma $V_\alpha$, e $\varphi_1$ es una pena y un teorema de $ZFC$.

Estoy teniendo dificultad con este problema. En particular, la comprensión de la pista. También, sé que algunos de los hechos acerca de la Beth función de $\beth_\gamma$, pero no estoy seguro de por qué se utiliza. Cualquier ayuda/sugerencias sería muy apreciada.

Answer 1

Recordar que para todos los conjuntos de $x$ y todos los ordinales $\alpha$ tenemos que $rank(x)=\alpha$ si y sólo si hay una en homomorphism $f:(trcl(x),\in)\longrightarrow(\alpha,\in)$. También para todos los conjuntos $x,y$, $y=trcl(x)$ si y sólo si $y$ es transitiva, $x\subseteq y$, y para todos los conjuntos transitivos $z$ tal que $x\subseteq z$ tenemos $y\subseteq z$. También para todos los $\alpha$, $|V_\alpha|=\beth_\alpha$.

Definir $\psi_1(x,y)=\exists z(z$ es una en homomorphism de $(x,\in)$ a $(y,\in));$ informalmente, $z(x_1)\in z(x_2)$ siempre $x_1\in x_2$$x$.

Deje $\psi_2(x,y)=(y$ es transitiva $\wedge x\subseteq y)\wedge\forall z(z$ es transitiva $\wedge x\subseteq z\rightarrow y\subseteq z)$, por lo que, de manera informal, $\psi_2(x,y)$ dice que $y$ es transitivo clousure de $x$; para modelos transitivos.

Deje $\psi_3(x,y)=y$ es un ordinal $\wedge\forall w\in x(\exists w'\in y\exists z(\psi_2(w,z)\wedge\psi_1(z,w'))\wedge\forall z(\exists w'\in y\exists z'(\psi_2(z,z')\wedge\psi_1(z',w')\rightarrow z\in x)),$ $\psi_3(x,\alpha)$ "dice" $x=V_\alpha^M.$ Deje $\psi(x)=\exists\alpha\varphi(x,\alpha)$. Poner $\sigma_1=\forall y\exists x(\psi(x)\wedge y\in x)$ $\sigma_2=\forall y(y$ es un ordinal$\leftrightarrow\exists x(\psi_3(x,y)))$

Finalmente poner el $\sigma_3=\forall\alpha(\alpha$ es ordinal$\rightarrow\exists\gamma\exists x(\alpha\in\gamma\wedge\gamma$ es un ordinal$\wedge \psi_3(x,\gamma)\wedge |\gamma|=|x|)),$ esto implica que como $x=V_{\gamma}^M$,$\beth_{\gamma}^M=\gamma$.

Poner $\varphi(x)=\sigma_1\wedge\sigma_2\wedge\sigma_3\wedge\psi(x).$

Deje $M$ ser transitivo conjunto tal que $M\preceq_{\varphi(x)}V$. Poner $\gamma=M\cap ON$. A continuación, $\sigma_1\wedge\sigma_2\wedge\sigma_3$ es un teorema de $\mathsf{ZFC}$. Deje $M$ ser transitivos conjunto tal que $(M,\in)\preceq_{\varphi(x)} V.$ $M\preceq_{\sigma_2}V$ y la noción de ser un ordinal es absoluta para $M$, obtenemos que para todos los $x\in M$, $V_x^M$ está definida si y sólo si $x$ es un ordinal $<$ $\gamma$. También se $M\preceq_{\sigma_1}V,$ esto implica que $M=\bigcup_{\alpha<\gamma}V_\alpha^M.$ Finalmente, $M\preceq_{\psi(x)} V$ implica que para todos los $\alpha<\gamma,V_{\alpha}$ es absoluta para $M$, en consecuencia,$M=\bigcup_{\alpha<\gamma} V_\alpha$.

Como $M\preceq_{\sigma_3} V$, y tanto la noción de ser un ordinal y $V_\alpha$ son absolutos para $M$, $\alpha<\gamma$, obtenemos que $\forall\alpha<\gamma\exists\beta<\gamma[\alpha<\beta\wedge\beta=\beth_\beta],$ esto implica que $\gamma$ es un ordinal límite y, además,$\gamma=\beth_\gamma$, lo $M=\bigcup_{\alpha<\gamma} V_\alpha=V_\gamma$.

Observe que la única parte de la respuesta donde la elección fue por $\beth_{\alpha}$ a ser definido.