[Esta prueba es complicada. Hay algunos cálculos hecho con calculadoras, voy a tratar de comprobar los errores, pero creo que la idea general debe trabajar]
Tenga en cuenta que$\cos x \gt \sin x$$x \in (0, \pi / 4)$.
También tenga en cuenta que $x^x$ es estrictamente una función creciente en el intervalo $[1/e, \infty)$ y estrictamente decreciente en el intervalo de $(0, 1/e]$ donde $e$ es la constante de Euler.
Los siguientes casos deben ser considerados:
- $1/e \leq \sin x \lt \cos x$
- $\sin x \leq 1/e \lt \cos x$
- $\sin x \lt 1/e \leq \cos x$
- $\sin x \lt \cos x \leq 1/e$
Caso (1) muestra que el $(\cos x)^{\cos x} \gt (\sin x)^{\sin x}$ desde $\cos x \gt \sin x$ y terminan en el intervalo en que se $x^x$ es estrictamente creciente.
El caso de (4) es imposible, ya que implicaría $\cos^2 x + \sin^2 x \lt 2/e^2 \lt 1$.
De los casos (2) y (3) requiere más detallada de las estimaciones.
Primero observar que si $\sin x \leq 1/e$$\cos x \geq \sqrt{1 - 1/e^2} \gt 0.9$, por lo que en orden para $(\sin x)^{\sin x} \geq (\cos x)^{\cos x} \gt 0.9$ necesitamos $\sin x \lt 0.04$.
A partir de ahora vamos a sustituir $\sin x$$x$$\cos x$$\sqrt{1 - x^2}$, y asumir la $x \lt 0.04$.
Deje $F_1(y)$ ser la solución de $x^x = y$ $0 \lt x \leq 1/e$ $F_2(y)$ ser la solución con $x \geq 1/e$. Tenga en cuenta que esto está bien definida debido a $x^x$ es estrictamente monótona en esos intervalos.
Tomamos nota también de que el $x^x$ es una función convexa (debido a $\log(x^x) = x\log x$ es convexa porque su derivada es $1 + \log x$ y su segunda derivada es $1/x \gt 0$). Esto significa que se encuentra por debajo de la secante de la línea a través de dos puntos distintos, y por encima de cualquier recta tangente en un punto.
Por lo tanto, en el intervalo de $(0, 0.04)$ tenemos $x^x \lt \left((0.04)^{0.04}-1\right)25x + 1 \lt -3x + 1$ cualquier $0 \lt x \lt 1$ tenemos $x^x \gt x$.
Lo que he hecho aquí es encontrar la secante de la línea que pasa a través de $(0, 1)$ $(0.04, (0.04)^{0.04})$ y la línea tangente en $(1, 1)$.
Por lo tanto, en $x \in (0, 0.04)$ tenemos $y \lt -3x + 1$ e lo $x \lt (1 - y)/3$, lo $F_1(y) \lt (1 - y)/3$.
En $(1/e, 1)$ tenemos $y \gt x$ y, por tanto,$F_2(y) \lt y$.
La combinación de las desigualdades, nos encontramos con que $F_1(y) \lt (1 - F_2(y))/3$ cualquier $y$ tal que $F_1(y) \lt 0.04$.
Con el fin de tener $x^x \geq \sqrt{1 - x^2}^{\sqrt{1 - x^2}}$$0 \lt x \leq 0.04$, tenemos $x \leq F_1\left(\sqrt{1 - x^2}^{\sqrt{1 - x^2}}\right) \lt \frac{1}{3}\left(1 - F_2\left(\sqrt{1 - x^2}^{\sqrt{1 - x^2}}\right)\right) = \frac{1}{3}\left(1 - \sqrt{1 - x^2}\right)$.
Tenga en cuenta que la segunda desigualdad debería ser válido, porque cuando $x \lt 0.04$, $\sqrt{1 - x^2}^{\sqrt{1 - x^2}} \gt 0.999$ y $F_1\left(\sqrt{1 - x^2}^{\sqrt{1 - x^2}}\right) \lt F_1(0.999) \lt 0.04$.
Esto significa $1 - 3x \gt \sqrt{1 - x^2}$ e lo $1 - 6x + 9x^2 \gt 1 - x^2$ $10x^2 - 6x \gt 0$ y, finalmente,$x \gt 0.6$. Esto se contradice con la restricción $x \lt 0.04$ y hemos terminado.
