Expresión exacta de la solución numérica 0.9595767

Question

Necesito hacer lo que cualquier matemáticas genuis en un poco de una película de Hollywood: observar las grandes tablas de números y viendo estructura exacta!

Estos $3 \times 3$ matrices son soluciones a un bien plantea el problema de optimización en tres dimensiones de la geometría proyectiva (ver más abajo). Así que espero que las soluciones racionales expresiones de números enteros, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, y a el le gusta, pero no puedo excluir loco de cosas como trascendental números.

Estoy especialmente (pero no sólo), interesadas en una forma cerrada de la expresión del valor de $\color{red}{0.9595767}$, que se produce seis veces en $\mathbf{A}$. Uno puede ver que los números son exactos a los de sexto o séptimo dígito.

A = -0.959576712     0.959576694    -0.959576722
     0.959576703     0.484117298     0.959576704
     0.959576691    -0.080846583    -0.484117295

U =  0.766455562    -0.598872401    -0.232158820
     0.233804715    -0.076515828     0.969268117
    -0.598231749    -0.797180766     0.081373209

V = -0.766455553     0.232158826    -0.598872410
    -0.632310726    -0.108948904     0.767015828
     0.112823001     0.966556990     0.230301009

Antecedentes: las Matrices de $\mathbf{U}$ $\mathbf{V}$ representan las bases, por lo que son ortogonales, es decir,$\mathbf{U}^\text{T}\mathbf{U} = \mathbf{V}^\text{T}\mathbf{V} = \mathbf{I}$. Las matrices están relacionados por $$\mathbf{A} = \mathbf{U}^\text{T} \left[ \begin{array}{ccc} 2 && \\ & -1 & \\ && -1 \end{array} \right] \mathbf{V} \ .$$ El dado de los valores numéricos son las soluciones para la minimización del problema $$\text{argmin}_{\mathbf{U},\mathbf{V}} \left(\max_{i,j} |A_{i,j}| \right) \ .$$

Thereby, $\max_{i,j} |A_{i,j}| \en [0.9595767, \ 2]$. If you think you can solve this riddle directly instead of interpreting the numerical values, then by all means go ahead :-)

(Simple tests for $\sqrt{2}$ and $\sqrt{3}$ didn't yield anything useful. I looked at the azimuth and polar angles of the vectors in $\mathbf{U}$ and $\mathbf{V}$ and didn't find anything meaningful either.)

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EDIT:

Here is what I worked out from the answers: Proper order and signs of the base vectors give

$$A = \left[\begin{array}{rrr}a&a&a \\a&a&b \\a&b&c \end{array}\right]$$.

• The eigenvalues of $\mathbf{A}$ are $2$, $1$, $-1$. Dado que la traza es la suma de los autovalores, obtenemos $$2a+c = 2 \ .$$
• $\text{det}(\mathbf{A})$ es el producto de los valores propios, por lo $\text{det}(\mathbf{A}) = -2$. Expandiendo el determinante da $$a(a-b)^2 = 2 \ .$$
• Los autovalores de a $\mathbf{A}^2$ $4$, $1$, $1$. De nuevo, la traza es la suma de vectores propios, dando $$6a^2+2b^2+c^2 = 6 \ .$$

Este puede ser reescrito para encontrar la raíz del $$\left( 6a^3 - 4a^2 - a + 2 \right)^2 - 8a^3 = 0 \ .$$

The largest real solution is $a=0.9595767$, and in consequence $b=-0.4841173$ and $c=0.0808466$.

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Aquí es una mejor versión de los valores, con la innecesaria de los grados de libertad fijos y la adecuada ordenación:

A =
   0.959576   0.959576   0.959576
   0.959576   0.959576  -0.484117
   0.959576  -0.484117   0.080846

U =
   0.766455   0.598872   0.232158
   0          0.361450  -0.932391
   0.642297  -0.714636  -0.277035

V =
   0.766455   0.598872   0.232158
   0.547861  -0.798226   0.250365
   0.335252  -0.064702  -0.939904

Answer 1

Este es un svd de descomposición, y no es la única, porque los dos valores propios son iguales. Eso significa que U y V no son únicos, y probablemente no en la mayoría de forma simétrica. La misma degeneración puede estar presente en la solución en sí misma, aunque el valor absoluto de la condición de componente de mayo, a continuación, pulse este en un ángulo incómodo. El hecho de que el mismo número se ve en todas partes es bastante obvio, en realidad, como usted son "aplastar" el sistema hasta que se llega a los límites en tantos componentes como sea posible, incluso si hay un poco de margen a la izquierda en el estado degenerado de los componentes.

Cuando hago la enfermedad vesicular porcina transformar a mí mismo (redondeado a 6 plazas en fin, por lo que reforzamos la degeneración), me sale un bit de resultado diferente de la U y V matrices, como la degeneración hace que el resultado arbitrario. U y V que tengo son casi los mismos para cada uno de los otros, sólo que con diferentes signos y se intercambian las filas. Aquí he a $A=USV^T$ (matlab utiliza esta convención, como hacen la mayoría de los libros de texto).

U =
  -0.76646   0.31402  -0.56030
   0.59887   0.66469  -0.44669
   0.23216  -0.67792  -0.69751

V =
   0.76646  -0.31402  -0.56030
  -0.23216   0.67792  -0.69751
   0.59887   0.66469   0.44669

En este caso, S=diag(2,1,1) (valores propios son positivos y los signos de que vaya a V).

Podemos suponer, que $P=UV=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\end{bmatrix}$ en la solución exacta. A menos que la pequeña diferencia es lo que empuja a los componentes de Una desde 1 hasta el número dado - pero vamos a ver sobre que.

Esto hace que sea un poco más fácil. El uso de estos empíricamente obtenidos restricciones (que tienen sentido debido a la simetría), sólo tiene 3 variables de la izquierda - por ejemplo, los ángulos de euler de la matriz U (o V). Usted puede incluso no tener que buscar un mínimo real, debido a dos restricciones se pueden inferir a partir de Una: los tres componentes deben ser de igual magnitud en la primera fila.

El uso de la condición anterior, ahora tenemos: $$A=USV^T=U(SP)(PV^T)=U(SP)U$$ donde $SP=\begin{bmatrix}-2&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\end{bmatrix}$ $U$ es el ortogonal de la matriz a buscar. Me sorprende que en esta forma: es la mezcla de las dimensiones, la última U no está incorporado, por lo que es difícil ver geométrica significado de este.

Ahora, más especulación - no sé si esto está justificado. El uso de la simetría, $U$ debe ser de la matriz de rotación que gira alrededor de un eje con los dos últimos componentes en medidas de igualdad (rotación alrededor de $z$ maximizar, no minimizar). Vamos a tratar de girar sobre (0,1,±1). Esto le da (creo, Es bastante feo) $$U=\begin{bmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha/\sqrt{2}&-\sin\alpha/\sqrt{2}\\ -\sin\alpha/\sqrt{2}&(1+\cos\alpha)/2 & \pm (1-\cos\alpha)/2 \\ \sin\alpha/\sqrt{2} & \pm (1-\cos\alpha)/2 & (1+\cos\alpha)/2 \end{bmatrix}$$ Esto podría llevar a que las ecuaciones de $\alpha$.

Answer 2

Puede ajustar$U$ y$V$ para que$A$ se convierta en$\left[\begin{array}{ccc}a&a&a\\a&a&b\\a&b&c\end{array}\right]$. $(a=0.9595767,b=-0.4841173,c=0.0808466)$
Entonces$A^TA=A^2$ tiene valores propios$1,1,4$, entonces$A$ tiene valores propios$\pm1,\pm1,\pm2$
La opción$1,-1,2$ da$2a+c=2,a(a-b)^2=2$ y creo:$2ac-b^2-a^2=-1$.
Creo que se convierte en un polinomio de grado 6 en$a$.