Posibles Duplicados:
Probar: $\int_{0}^{\infty} \sin (x^2) dx$ converge.Me han demostrado que; $\forall \epsilon>0, \exists r\in \mathbb{R}$ tal que $ \forall x,y>0, r<x,y \Rightarrow |\int_{x}^{y} \sin (t^2) \, dt| < \epsilon$.
También, me han demostrado que $\forall x,y>0, |\int_{x}^{y} \sin (t^2) \, dt| < 1/x$.
¿Cómo puedo probar que $\lim_{x\to\infty} \int_0^x \sin (t^2) \, dt$ converge?
EDITAR:
Por favor, no cierre este post. Vi Davide de la respuesta en el enlace, pero no entiendo su argumento. ¿Por qué la convergencia de $\int_{0}^{\infty} t^{-3/2} dt$ implica que $\int_{a}^{\infty} t^{-3/2} \cos t dt$ converge?
Creo que sólo implica que limsup y liminf de $\int_{a}^{\infty} t^{-3/2} \cos t dt$ es finito. Y eso es exactamente lo que he dicho en el primero de la sentencia en mi post.
Por supuesto, traté de convertir esta integral, con un límite de una serie, para aplicar", alternando series de prueba'. Así que yo estaba tratando de demostrar un lema, pero yo no había probado y es de hecho falso. (Verifique esto en el comentario de abajo) (Para ser específicos, yo estaba tratando de mostrar que $\int_{0}^{\infty} \sin t^2 dt = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}} \sin t^2 dt$)
Para resumir, lo que es un teorema es una generalización de que en Michael post de Riemann Integral de Stieltjes?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sabemos que $x<y \Rightarrow |\int_{x}^{y} \sin t^2 dt|<1/x$.
Definir $F(x) = \int_{0}^{x} \sin t^2 dt$.
Que $\{s_n\}_{n\in \mathbb{Z}^+}$ ser una secuencia tal que $s_n=\sqrt{n\pi}$.
Entonces, $F(s_n) \\ =\sum_{i=0}^{n-1} \int_{\sqrt{i\pi}}^{\sqrt{(i+1)\pi}} \sin t^2 dt \\ ≦\pi \sum_{i=0}_{n-1} (-1)^i (\sqrt{i+1} - \sqrt{i})$.
Así, $A\triangleq \lim_{n\to\infty} F(s_n)$ es convergente.
Ahora bien, fijar $\epsilon>0$.
Entonces, existe $N\in \mathbb{N}$ tal que $n≧N \Rightarrow |F(s_n) - A| <\epsilon$.
Que $\frac{1}{\epsilon} < s_n$ $n≧N$ y $y>s_n$
Entonces, $|F(y)-F(s_n)|< \frac{1}{s_n} < \epsilon$.
Por lo tanto, $|F(y) - A| < \epsilon$.
Así, $\lim_{y\to\infty} F(y) = A$.
$\lim\limits_{x\to\infty}\int_0^x \sin(t^2)\,dt$ converge si $\sum\limits_{n=0}^\infty \int_n^{n+1} \sin(t^2)\,dt$ converge. Lo has probado ya hace posible la aplicación de Cauchy con la convergencia de la prueba para la serie.
Postscript por alex.jordan comentario de abajo:
$\sin=0$ en múltiplos enteros de de $\pi$, por lo que $\sin\left((\sqrt{n\pi})^2\right)$ $=\sin\left(\left(\sqrt{(n+1)\pi}\right)^2\right)$, y $\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}} \sin(t^2)\,dt$ s una integral sobre un intervalo corto de una función cuyo valor absoluto es delimitada por $1$, por lo que es problemático. Así que piensa acerca de la convergencia de la siguiente suma y sobre el criterio de Cauchy: $$ \sum_{n=0}^\infty \int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}} \sin(t^2) \, dt. $$
