¿Dónde me estoy equivocando al seguir la integral de la función delta?

Question

Si la integral dada es $$\int_{-\infty}^{+\infty} dx \delta (x-x^{'})f(x)$$ La respuesta es $f(x')$ . Sin embargo, si hacemos una transformación $$x\rightarrow\alpha x=y$$ y $$x^{'}\rightarrow\alpha x^{'}=y^{'}$$ sustituyendo esto en la ecuación anterior obtengo $$\alpha dx= dy$$

por lo que la integral se convierte en, $$\frac{1}{\alpha}\int dy \delta (\frac{y}{\alpha}-\frac{y^{'}}{\alpha})f(\frac{y}{\alpha} )$$ Por lo tanto, la respuesta es $$\frac{1}{\alpha}f(\frac{y^{'}}{\alpha})$$

Si volvemos a las antiguas variables $x$ haciendo una transformación inversa $$y^{'}=\alpha x^{'}$$ Estoy recibiendo $$\frac{1}{\alpha}f(x^{'})$$ Sin embargo, la solución no es sólo $$f(x^{'})$$ ¿Dónde me equivoco en la siguiente transformación?

Answer 1

Su error radica en suponer que $$\int \delta(x - b ) f(x) dx = f(b) \implies \int \delta(ax - b ) f(x) dx = f(b/a)$$ es decir, que la integral delta se limita a "elegir el valor de la función donde la arg delta es cero"

En realidad, al escalar el argumento delta se escala el resultado. En particular para cualquier $a>0$

$$ \int \delta(ax) dx = \frac{1}{a} $$

y también $$ \int\delta(ax - b ) f(x) dx = \frac{1}{a} f(b/a) $$

Por lo tanto, $$ \frac{1}{\alpha}\int dy \delta (\frac{y}{\alpha}-\frac{y^{'}}{\alpha})f(\frac{y}{\alpha} ) = f(\frac{y^{'}}{\alpha})$$