¿Lo que ' s malo $\mathbb{H}$-módulos de la izquierda?

Question

Me puede dar ejemplos no trivial de proposiciones que pueden formularse para cada izquierda $k$-módulo, mantenga siempre $k$ es un campo, pero no cuando $k = \mathbb{H}$ o, más generalmente, necesitan no cuando $k$ es un anillo de división (¡gracias, Bruno Stonek!) que no es un campo ?

Pregunto porque en la teoría de fibrados vectoriales $\mathbb{H}$-paquetes son considerados junto a los $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ y me gustaria saber qué mirar hacia fuera para en este caso en particular.

Answer 1

EDITAR para agregar: La siguiente pregunta anterior está muy relacionado con: álgebra Lineal a través de una división del anillo de frente sobre un campo

Su "más general" es un poco engañoso: te estás olvidando de que $\mathbb{H}$ es un anillo de división. En el caso de que usted sólo gota conmutatividad del campo, como en este caso, un montón de álgebra lineal todavía funciona, como es presenciado por algunos autores la definición de "espacio vectorial" como "módulo a través de una división del anillo" (por ejemplo, Carlos Ivorra en su libre disposición Álgebra libro [en español]).

Un notable ejemplo de algunos de álgebra lineal que no funciona cuando no estás sobre un anillo conmutativo, es el factor determinante. Esto es evidente a partir de su definición (como la suma sobre todas las permutaciones, etc.)

Otro ejemplo, como sugiere Soarer en los comentarios, está dada por el producto tensor. El producto tensor de espacios vectoriales sobre un campo tiene una estructura natural de espacio vectorial (sobre el mismo campo). Si se cae la conmutatividad, esto no es así. El producto tensor de dos módulos en una no necesariamente conmutativo anillo no realizar una acción natural del anillo, y por lo tanto es sólo un grupo abelian. Si usted acepta bimodules en lugar de los módulos, entonces usted todavía puede darle una estructura de módulos, como se explica aquí, en la "estructura Adicional" de la sección.

Cito de la Wikipedia en la División de anillo artículo:

Mucho de álgebra lineal puede ser formulado, y sigue siendo correcta, para (a la izquierda) los módulos a través de la división de los anillos en lugar de espacios vectoriales sobre los campos. Cada módulo a través de una división de anillo tiene una base; lineal mapas entre finito-dimensional de módulos sobre un anillo de división puede ser descrito por las matrices, y el algoritmo de eliminación Gaussiana sigue siendo aplicable. Diferencias entre el álgebra lineal sobre los campos y sesgar los campos producen cada vez que el orden de los factores en un producto de la materia. Por ejemplo, la prueba de que la columna de rango de una matriz sobre un campo es igual a su fila rango de rendimientos para las matrices sobre la división de los anillos sólo que la columna de la izquierda el rango es igual a su derecha de la fila de clasificación: no tiene sentido hablar de que el rango de una matriz a través de una división de anillo.

Algunos de álgebra lineal que funciona sobre la división de los anillos es desarrollado en estas notas por Paul Garrett.

Answer 2

Álgebra lineal lo mismo funciona en $\mathbb H$ como en cualquier campo. Álgebra multilineal, por el contrario, se descompone en lugares.

Se puede ver ya en el hecho de que cuando $V$ y $W$ quedan $\mathbb H$ módulos, el sistema de $\mathbb H$-mapas lineares $\hom_{\mathbb H}(V,W)$ ya no es, de alguna manera natural, un $\mathbb H$-módulo. Como señala Bruno, también rompen productos del tensor (a menos que esté dispuesto a considerar también módulos de derecho o bimodules- y luego es que se rompió!)