¿Cómo deberíamos pensar ecuaciones como $dy = 2x \cdot dx$ desde el punto de vista de la geometría moderna?

Question

Apenas hemos comenzado a aprender acerca de (suave) colectores en la uni, y yo soy una especie de esperanza de que esto finalmente me ayude a conseguir una manija en el temido notación de Leibniz. Ahora he leído que las expresiones de $dy$ como puede verse como diferencial $1$-formas. Supongo que esto de alguna manera nos permite hacer sentido de ecuaciones como

$$dy = 2x \cdot dx$$

Así que traté de pensar a través de los detalles. Muy pronto, decidí que sería agradable ser capaz de escribir algo como lo siguiente:

Deje $M$ denotan el buen colector dado de la siguiente manera.

Distinguido Proyecciones: $y,x$

Ecuaciones: $y=x^2$

(La idea es que el $M$ puede ser entendido de la manera más concreta $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y=x^2\}.$)

A continuación,$M \models y=x^2$.

Por lo tanto, $M \models dy = 2x dx$

Me puse a pensar que tal vez no es una expresión algebraica componente de todo esto. Tal vez deberíamos escribir:

Deje $M$ denotan el buen colector presenta de la siguiente manera.

Generadores: $y,x$

Relaciones: $y=x^2$

A continuación,$M \models y=x^2$.

Por lo tanto, $M \models dy = 2x dx$

Así que supongo que sería bueno si pudiéramos ver liso colectores como los modelos de algún tipo de cuidadosamente elegido Lawvere teoría. Esto no podría, posiblemente, el trabajo, a pesar de que, debido a las relaciones como $y^2 = x^2$ no se rindan bien definido suave colectores, debido a $0$ no es un valor regular de $x,y \mapsto y^2-x^2$.

Pregunta. ¿Qué debemos pensar sobre ecuaciones como $dy = 2x \cdot dx$ desde el punto de vista de la moderna geometría? Ha llegado a hacer con el modelos de algún tipo de especial de Lawvere teoría? Y es que hay un útil la generalización del concepto de "suave colector" de tal manera que cada ecuación con las funciones lisas define un suave colector, incluso ecuaciones como $x^2=y^2$?

Traté de pensar acerca de la Lawvere teoría cuyos objetos se $\{\mathbb{R}^n \mid n \in \mathbb{N}\}$ y cuyas flechas son las funciones lisas, pero realmente no era capaz de obtener una visión de lo que el libre álgebras de esta teoría. (¿Alguien sabe?)

Answer 1

1) La ecuación de $dy = 2x \cdot dx$ es una igualdad entre dos secciones de la cotangente del paquete de $T^*M$ al colector $M$.
Esto significa que en cualquier punto de $m=(a,b)\in M$ y para cualquier vector tangente $u\frac {\partial}{\partial x}|_m+v \frac {\partial}{\partial y}|_m\in T_mM$ tenemos $v=2a\cdot u$.
Por supuesto que es de esperar que debe existir una relación entre el $dy$ $dx$ desde la cotangente del espacio vectorial $T^*_m M$ $M$ $m$$1$- dimensional, por lo que no debe ser una relación lineal entre el$dy$$dx$.
Nótese que en la anterior $x,y$ funciones $M\to \mathbb R$, es decir, las restricciones a $M$ de las dos coordenadas en $\mathbb R^2$.

2) La generalización del concepto de "colector" de las ecuaciones de la forma $x^2=y^2$ existe si se restringen las funciones polinomios o funciones racionales : estos objetos son llamados real variedades algebraicas y han sido intensamente estudiados.
Ha habido intentos de extender estas a diferencia de las variedades, que se define por arbitraria de funciones diferenciables, pero esta es un área especializada de la geometría diferencial.

3) A mi conocimiento Lawvere teoría ha tenido un impacto cero sobre la geometría diferencial: yo no soy consciente de la grave consecuencia en ese campo cada vez que se ha obtenido mediante el uso de ella.