Transformaciones que dejan invariante una distribución binomial

Question

La distribución binomial se escribe como

$$p(r|n,\theta )=\binom{n}{r}\theta ^r(1-\theta )^{n-r}$$

où $n$ es un número entero positivo, $0\leq\theta\leq1$ y $r$ es un número entero que toma valores entre $0$ a $n$ .

Estoy tratando de encontrar cambios de variable que dejen invariable esta distribución. Para ilustrar, un cambio general de variables de $n,r,\theta$ a $m,s,\psi$ tendría la forma

$$\begin{align*}m&=f(n,r,\theta)\\ s&=g(n,r,\theta)\\ \psi&=h(n,r,\theta)\end{align*}$$

para algunas funciones $f,g,h$ . Aquí requerimos que $m,s$ sean enteros no negativos con $s\leq m$ y que $\psi$ sea un número real en el intervalo $0\leq\psi\leq1$ . Además, la transformación debe ser una biyección y $h$ debe ser continua. Entonces digo que la distribución binomial es invariante con este cambio de variables si

$$\binom{n}{r}\theta^r(1-\theta)^{n-r}=\binom{m}{s}\psi^s(1-\psi)^{m-s}$$

Un ejemplo sería el siguiente cambio de variables

$$\begin{align*}m&=n\\ s&=n-r\\ \psi&=1-\theta\end{align*}$$

Sustituyendo es fácil comprobar que se cumple la condición de invariabilidad.

¿Existen más transformaciones de este tipo que dejen invariante la distribución binomial? Gracias.

Answer 1

Habrá muchas funciones de este tipo si no hay ninguna restricción en la naturaleza de la transformación. La función $f(p,q,\theta) = \binom{p+q}{q} \theta^p (1-\theta)^q : \Bbb{N} \times \Bbb{N} \times [0,1] \to \Bbb{R}$ no es uno a uno, y cualquier "transformación" que permute cada fibra (o mapee cada fibra en sí misma, como en la respuesta de Jack Schmidt), es una solución del problema.

Las transformaciones continuas invertibles equivalen a soluciones enteras no negativas de $M(p,q) = M(r,s)$ donde $M(p,q)=f(p,q,p/(p+q))$ es el valor máximo de $f$ con respecto a $\theta$ . Las soluciones triviales son la transformación de identidad $(r,s)=(p,q)$ y la involución que intercambia $\theta$ y $1 - \theta$ de $(r,s)=(q,p)$ . Encontrar o excluir soluciones no triviales es un problema interesante en la teoría de los números.

Eso es para el caso de parámetros enteros no negativos en los coeficientes del binomio, y una solución continua en ese caso proporcionaría una solución para parámetros más generales (extendiéndola por la transformación de identidad).

[actualización: en el caso de que $n$ y $r$ (y por lo tanto $p,q,r,s$ en la notación del párrafo anterior) se permite que sean reales, hay soluciones continuas identificando las gráficas de $A(\theta) = f(p,q,\theta)$ y $B(\psi)=f(r,s,\psi)$ en el caso de que los máximos de estas funciones unimodales sean iguales, $M(p,q)=M(r,s)$ . De hecho, habrá familias infinitas de soluciones continuas invertibles de este tipo debido a la existencia de arcos en $(p,q)$ espacio de parámetros en el que $M(p,q)$ es constante. Para cada arco uno tiene la libertad de elegir una reparametrización (un homeomorfismo) y una partición del arco en trozos sobre los que utilizar el $\theta$ o el $(1-\theta)$ variante, por lo que la dimensionalidad del espacio de transformaciones "buenas" es infinita, y posiblemente incontable si se requiere continuidad pero no suavidad].

Answer 2

Aquí hay una transformación bizarra para mostrar que uno probablemente quiere algún requisito extra. Set:

• $m = f(n,r,\theta) = 1$
• $s = g(n,r,\theta) = 1$
• $\psi = h(n,r,\theta) = p(r|n,\theta)$

Entonces $p(s|m,\psi) = \binom{1}{1} \psi^1 (1-\psi)^{1-1} = \psi = p(r|n,\theta)$ .

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Creo que hay que exigir que el cambio de variable sea invertible, y que h debe ser continua; implícitamente requerimos m , s sean enteros no negativos, presumiblemente s ≤ m y ψ para ser un número real, 0 ≤ ψ ≤ 1.

No estoy seguro de si debería haber más condiciones, y no estoy seguro de si hay más cambios "razonables" de variable.