Un subring del campo de fracciones de un PID es también un PID.

Question

Dejemos que $A$ sea un PID y $R$ un anillo tal que $A\subset R \subset \operatorname{Frac}(A)$ , donde $\operatorname{Frac}(A)$ denota el campo de fracciones de $A$ . Cómo mostrar $R$ ¿es también un PID?

¿Alguna pista?

Answer 1

Si $I$ es un ideal de $R$ entonces se puede verificar que el conjunto de numeradores de $I$ , $\{r\in A: \frac{r}{s}\in I\text{ for some $ s \in S $}\}$ es un ideal en $A$ por lo tanto un ideal principal, generado por algún elemento $t$ . Ahora demuestre que el ideal generado por $t=\frac{t}{1}$ en $R$ es el ideal con el que se empezó.

Answer 2

Definir el conjunto multiplicativo

$$S = \{\text{multiplicative set of all elements $ a \in A $ that are units in $ R $}\}.$$

Recordemos el Corolario 3.3 de Atiyah - Macdonald:

${\color{blue}{\text{Corollary 3.3: If $ g: A \rightarrow B $ is a ring homomorphism such that}}}$

${\color{blue}{\text{(i) $ s \in S \implies g(s) $ is a unit }}}$

${\color{blue}{\text{(ii) $ g(a) = 0 \implies as = 0 $ for some $ s \in S $}}}$

${\color{blue}{\text{(iii) Every element in $ B $ is of the form $ g(a)g(s)^{-1} $ for some $ a \in A $ and $ s \in S $ }}}$

${\color{blue}{\text{then there is a unique isomorphism $ h:S^{-1}A \rightarrow B $ such that $ g $ factorises through the}}}$ ${\color{blue}{\text{localisation $ S^{-1}A $.}}}$

En nuestro caso tenemos $g$ para ser el mapa de inclusión $\iota : A \hookrightarrow R$ y $R$ como el anillo $B$ . Es evidente que se cumplen las dos primeras propiedades. Para ver que se cumple la tercera propiedad, ya que todo ocurre dentro del campo de fracciones de $A$ consideremos un elemento $\frac{a}{b}$ en $R$ donde $a,b \in A$ . Desde $a,b$ son elementos en $A$ que es un PID podemos calcular GCDs, por lo que podemos asumir que $a,b$ son coprimos. De nuevo porque $A$ es un PID esto significa que hay elementos $x,y \in A$ tal que

$$ax + by = 1.$$

Ahora sube a $\operatorname{Frac}(A)$ y ver esta expresión como si estuviera aquí. Entonces dividiendo por $b$ vemos que

$$\frac{a}{b}x + y = \frac{1}{b}.$$

Sin embargo, el lado izquierdo está en $R$ por lo que el derecho es. De ello se desprende que $b$ es un elemento de $A$ que es una unidad en $R$ $\implies b\in S$ . Por lo tanto, podemos escribir $a/b \in R$ como $\iota(a)\iota(b)^{-1}$ y así desde $a/b$ era arbitraria se deduce por el corolario que

$$S^{-1}A \cong R.$$

Ahora para demostrar que $R$ es un PID basta con el isomorfismo para demostrar que $S^{-1}A$ es un PID. Sea $\mathfrak{a}$ sea un ideal en $S^{-1}A$ . Entonces un resultado básico sobre la localización por conjuntos multiplicativos dice que

$$(\mathfrak{a}^{c})^{e} = \mathfrak{a}$$

donde $(\mathfrak{a}^{c})^{e}$ denota la extensión de la contracción de $\mathfrak{a}$ . Ahora $\mathfrak{a}^c$ es siempre un ideal en $A$ ya que $A$ es un PID podemos escribir

$$\mathfrak{a}^c = (\alpha)$$

para algunos $\alpha \in A$ . De ello se desprende que $$(\alpha)^{e} = (\mathfrak{a}^{c})^{e} = \mathfrak{a}. $$

Ahora afirmo que $(\alpha)^{e} = S^{-1}(\alpha)$ . Para ver esto, claramente tenemos $S^{-1}(\alpha) \subseteq (\alpha)^{e}$ . Para ver la otra inclusión, tome un elemento

$$\sum_{i=1}^n \frac{\alpha_i}{s_i}$$

en $(\alpha)^e$ donde $s_i \in S$ , $\alpha_i \in (\alpha)$ . Entonces al despejar los denominadores se obtiene que este elemento está en $S^{-1}A$ Así que hemos probado la otra inclusión.

Por lo tanto, $\mathfrak{a} = S^{-1}(\alpha)$ de lo que se deduce inmediatamente que $\mathfrak{a}$ es un ideal principal.

$\hspace{6in} \square$