$u''(t)+u(t) = |t|$

Question

Resolver el problema de Cauchy, $\forall t \in \mathbb{R}$, $$\begin{cases} u''(t) + u(t) = |t|\\ u(0)=1, \quad u'(0) = -1 \end{casos} $$

La solución a la ecuación homogénea es $A\cos(t) + B \sin(t)$. Empíricamente, $|t|$ es "más o menos" una solución particular, sin embargo no es diferenciable en $0$... ¿Cuál es la forma más rápida de encontrar una solución particular dos veces diferenciable?

Answer 1

Como se mencionó en los comentarios, se puede resolver el sistema de $t \ge 0$ y $t \lt 0$.

Sin embargo, usted puede usar Laplace transforma para solucionar el problema y llega a:

• $t \ge 0, u(t) = t - 2 \sin t + \cos t$
• $t \lt 0, u(t) = \cos t - t$

Si controlamos las condiciones iniciales, coinciden como lo hace la solución de continuidad.

Muestra de una parcela por trozos:

Answer 2

$\displaystyle{\xi = {\rm u}' + {\rm ui} \Longrightarrow \xi' = {\rm u}" + {\rm ui}' \Longrightarrow \xi' - {\rm i}\xi = \left\vert t\right\vert\,; \qquad {\rm u} = \Im\xi}$

$$ {{\rm d}\left({\rm e}^{-{\rm i}t}\xi\right) \over {\rm d}t} = {\rm e}^{-{\rm i}t}\,\left\vert t\right\vert \Longrightarrow {\rm e}^{-{\rm i}t}\xi - \left(-1 + {\rm i}\right) = \int_{0}^{t}{\rm e}^{-{\rm i}t'}\,\left\vert t'\right\vert\,{\rm d}t' $$

$$ \xi = -{\rm e}^{{\rm i}t} + {\rm i}{\rm e}^{{\rm i}t} + \int_{0}^{t} {\rm e}^{{\rm i}\left(t - t'\right)}\,\left\vert t'\right\vert\,{\rm d}t' $$

$$ \begin{array}{|c|}\hline\\ \\ \color{#ff0000}{\large\quad{\rm u}\left(t\right) = -\sin\left(t\right) + \cos\left(t\right) + \int_{0}^{t}\sin\left(t - t'\right)\left\vert t'\right\vert\,{\rm d}t'\quad} \\ \\ \hline \end{array} $$

${\bf ADDENDUM:}$ \begin{align} \int_{0}^{t}\sin\left(t - t'\right)\left\vert t'\right\vert\,{\rm d}t' &= \left.\vphantom{\LARGE A} \cos\left(t - t'\right)\left\vert t'\right\vert\, \right\vert_{t'\ =\ 0}^{t'\ = t} - \int_{0}^{t}\cos\left(t - t'\right){\rm sgn}\left(t'\right),{\rm d}t' \\[3mm]&= \left\vert t\right\vert + \left.\vphantom{\LARGE A} \sin\left(t - t'\right){\rm sgn}\left(t'\right) \right\vert_{t'\ =\ 0}^{t'\ = t} - \int_{0}^{t}\sin\left(t - t'\right) \left\lbrack 2\delta\left(t'\right)\right\rbrack\,{\rm d}t' \\[3mm]&= \left\vert t\right\vert - 2\sin\left(t\right)\Theta\left(t\right) \end{align} $$ \begin{array}{|rcl|}\hline\\ \\ \color{#ff0000}{\large\quad{\rm u}\left(t\right)} & = & \color{#ff0000}{\large-\left\lbrack 2\Theta\left(t\right) + 1\right\rbrack\sin\left(t\right) + \cos\left(t\right) + \left\vert t\right\vert} \\[3mm] \color{#ff0000}{\large\quad{\rm u}'\left(t\right)} & = & \color{#ff0000}{\large-\left\lbrack 2\Theta\left(t\right) + 1\right\rbrack\cos\left(t\right) - \sin\left(t\right) + {\rm sgn}\left(t\right)\quad} \\[3mm] \color{#ff0000}{\large\quad{\rm u}''\left(t\right)} & = & \color{#ff0000}{\large\phantom{-}\left\lbrack 2\Theta\left(t\right) + 1\right\rbrack\sin\left(t\right) - \cos\left(t\right)} \\ \\ \hline \end{array} $$

Answer 3

Si $t\in 0^+\cup\{0\}$ entonces tiene $u''+u=t$. Aquí, puede utilizar cualquier método apropiado para obtener la solución general para esta Oda. Por ejemplo mediante el uso de coeficientes indeterminados obtendrá: $$u(t)=C_1\sin t+C_2\cos t+t$$ Remember the part $C_1\sin t + C_2\cos t $ is really the solution of the associated homogenous OE, $u '' + u = 0 $. Similarly, if $t < 0 $, then we have $u '' + u =-t $ and so we get $u (t) = t C_3\sin + C_4\cos t-t $. Therefore: $ $u (t) = \left\ {\begin{array}{ll} C_1\sin t+C_2\cos t+t & \quad t \geq 0 \\ C_3\sin t+C_4\cos t-t & \quad t < 0 \end{matriz} \right.$$ Now use other given conditions to find the unknown coefficients $C_i$. Note that the solution should be continuous at the origin,i.e; $\lim_{t\to 0}u(t)=u(0)$.

Answer 4

Esta no es la más fácil o la mayoría de forma sistemática para obtener una solución, pero yo tenía un poco de diversión encontrando así que voy a publicar de todos modos.

Vamos a buscar soluciones de la forma $u(t) = |t|f(t)$ donde $f$ es dos veces diferenciable con $f(0)=0$. Una función de este tipo es dos veces diferenciable en todas partes, con segunda derivada $$ u''(t) = \operatorname{sign}(t)(2 f'(t) + tf''(t))$$, en donde utilizamos la convención de que la señal de 0 es 0. La ecuación diferencial es entonces

$$\operatorname{sign}(t)(2 f'(t) + tf''(t) + tf(t)) = \operatorname{sign}(t) t,$$ so a solution of $2 f'(t) + tf"(t) + tf(t)=t$ would suffice. The substitution $a(t) = t(f(t)-1)$ transforms this to $$a''(t) + a(t) = 0$$ with initial conditions $a(0) = 0, '(0) = -1$; which has solution $a(t) = -\sin(t)$. Thus we have $f(t) = 1 - \operatorname{pues}(t)$, giving a particular solution $$u(t) = |t| - \operatorname{sign}(t)\sin(t).$$