La conexión entre formas diferenciadas y Oda

Question

¿Hay una conexión entre ser una ecuación diferencial exacta y una forma diferencial exacta?

¿Siempre encontré molesto con Oda básico que de alguna manera podría tratar dy/dx como una fracción de buena fe, es lo que secretamente va aquí integración de formas diferenciales? ¿Si es así, se puede expandir en esta conexión o dirigirme a un buen recurso?

Answer 1

Solución exacta de la ecuación diferencial puede ser interpretado como la búsqueda de las curvas integrales de un uno-dimensional de distribución se define por una forma exacta. Permítanme describir la relación:

Deje $\omega$ ser un diferencial de una forma definida en un subconjunto $\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$ y asumir que $\omega$ no desaparecer en cualquier punto de $\Omega$. A continuación, $\ker(\omega)$ define unidimensional de distribución en $\Omega$. Para cada una de las $p \in \Omega$, el subespacio $\ker(\omega_p)$ es una dimensión del subespacio de $T_p(\mathbb{R}^2) \cong \mathbb{R}^2$, por lo que podemos pensar de $\omega$ como la definición de un campo de líneas en $\Omega$. Una curva de $\alpha \colon I \rightarrow \Omega$ se llama una curva integral de $\omega$ si $\omega_{\alpha(t)}(\dot{\alpha}(t)) = 0$ todos los $t \in I$.

Si escribimos $\omega$ explícitamente como $\omega = g(x,y)dx + h(x,y)dy$ $\alpha(t) = (x(t),y(t))$ es una curva integral de $\omega$ si

$$ g(x(t),y(t)) \dot{x}(t) + h(x(t),y(t)) \dot{y}(t) \equiv 0. $$

Si $\omega$ es exacta, entonces $\omega = df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$ algunos $f \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$. La función de $f$ se denomina potencial de $\omega$ y puede ser utilizado para encontrar las curvas integrales de $\omega$ como sigue. Deje $(x_0, y_0) \in \Omega$ y establezca $C = (x_0,y_0)$. Desde $df = \omega$ constante de rango uno, el conjunto de nivel de $f^{-1}(C)$ es un unidimensional submanifold de $\Omega$. Si $\alpha(t)$ es cualquier parametrización de (una parte de) $f^{-1}(C)$ cerca de $(x_0,y_0)$$f(\alpha(t)) = C$, por lo que, mediante la diferenciación, obtenemos

$$ df_{\alpha(t)}(\dot{\alpha}(t)) = \omega_{\alpha(t)}(\dot{\alpha}(t)) \equiv 0. $$

Esto significa que para encontrar curvas integrales de $\alpha$, podemos encontrar los conjuntos de nivel de $f$ y que, implícitamente, nos dan curvas integrales.

Ahora, supongamos que se nos da un primer orden de la ecuación diferencial de la forma $h(x,y(x))y'(x) = g(x,y(x))$. Mediante la realización de manipulación formal, tenemos

$$ h(x,y) \frac{dy}{dx} = g(x,y) \implies g(x,y)dx - h(x,y) dy = 0. $$

Esto se puede interpretar rigurosamente como diciendo que si definimos una forma de $\omega$ por $$\omega = g(x,y)dx - h(x,y) dy$$ a continuación, el gráfico de $(x,y(x))$ de una solución de primer orden de la ecuación diferencial será una curva integral de $\omega$. Por el contrario, cualquier curva integral de $\omega$, lo que puede ser expresado como $(x,y(x))$ será una solución de la primera orden de la ecuación diferencial. Así, en lugar de la solución de la ecuación original, por el contrario, podemos encontrar la integral de las curvas de $\omega$. Si $\omega$ es exacta, podemos encontrar un potencial de $f$ $\omega$ (determinado de forma única a una constante conectado dominios) y, a continuación, los conjuntos de nivel de $f$ va implícita una descripción de las soluciones de la ecuación original.

Si $\omega$ no es exacto, todavía puede ser cerrada por lo tanto localmente exacta. Luego, por la búsqueda de las potencialidades locales podemos encontrar locales de las soluciones de nuestra ecuación. Si $\omega$ no está cerrado, podemos intentar encontrar un cero de la función $\mu$ tal que $\mu \omega$ es cerrado. Dado que la distribución definida por $\omega$ $\mu \omega$ es el mismo, curvas integrales de $\mu \omega$ también será curvas integrales de $\omega$ y que nos va a permitir encontrar soluciones. Tal $\mu$ es llamado un factor de integración y siempre se puede encontrar a nivel local. Tenga en cuenta que casi todos los métodos que normalmente se aprende de la resolución de primer orden ecuaciones diferenciales son casos particulares de la discusión anterior (esto funciona para ecuaciones lineales, lineales no homogéneas ecuaciones separables ecuaciones exactas de las ecuaciones, etc).