Demuestran que cualquier primer ideal de un anillo de esto es máxima.

Question

Sea R un anillo conmutativo con identidad que todos $r\in$ R, existe un $n>1$ tal que $r^n = r$. Demuestran que cualquier ideal principal es máxima. (Atiyah y MacDonald, Introducción a la Álgebra comutativa, capítulo 1, ejercen 7).

¿Cualquier sugerencias?

Answer 1

Consejo: Reducir al caso que $R$ es un dominio integral satisfacción $\forall r \exists n (r^n=r)$, que $R$ es un campo.

Answer 2

Que $\,D\,$ ser cualquier número entero dominio y dejar que $\,d\in D\,$ % s.t. $\,d^n=d\,\,,\,\,1<n\in\Bbb N\,$, entonces:

$$d^n=d\Longrightarrow d(d^{n-1}-1)=0\Longleftrightarrow d=0\,\,\,\text{or}\,\,\,d^{n-1}=1,$$

así que si $\,d\,$ no es cero entonces debe ser una unidad.

$$\begin{array}{c} 0&\rightarrow &K_{i-1}&\rightarrow &V_{i-1}&\rightarrow &K_{i}&\rightarrow&0\\ &&&&0&\rightarrow&K_i&\rightarrow &V_i&\rightarrow&K_{i+1}&\rightarrow&0\\ &&&&&&&&0&\rightarrow&K_{i+1}&\rightarrow&V_{i+1}&\rightarrow&K_{i+2}&\rightarrow&0 \end--o----------o---------o---$$

En nuestro caso: que $\,I\leq R\,$ ser una privilegiada ideal y que $\, r\in R\setminus I\,$, entonces:

$$\exists\,n\in\Bbb N\,\,s.t.\,\,r^n=r\Longrightarrow \left(r+I\right)^n=r^n+I=r+I\in R/I$$

Ahora uso la primera parte con $\,D:=R/I\,\,\,,\,\,d=r+I\,$ y deducir $\,R/I\,$ es realmente un campo...