Empalme a secuencias exactas cortas

Question

Dada una secuencia exacta de los espacios vectoriales $$\cdots\longrightarrow V_{i-1}\longrightarrow V_{i}\longrightarrow V_{i+1}\longrightarrow\cdots$$ quiero mostrar que es lo mismo que tener una colección de breves, tales que

$$0\longrightarrow K_i \longrightarrow V_i \longrightarrow K_{i+1}\longrightarrow0$$

Así que para empezar quiero mostrar exactitud en un arbitrario $V_i$, así que el espacio les sugestivamente:

$$\begin{array}{c} 0&\rightarrow &K_{i-1}&\rightarrow &V_{i-1}&\rightarrow &K_{i}&\rightarrow&0\\ &&&&0&\rightarrow&K_i&\rightarrow &V_i&\rightarrow&K_{i+1}&\rightarrow&0\\ &&&&&&&&0&\rightarrow&K_{i+1}&\rightarrow&V_{i+1}&\rightarrow&K_{i+2}&\rightarrow&0 \end{array}$$

Me cae inclusiones, entre el correspondiente $K_i$'s, y luego componer hasta que yo llegue a una función de $V_{i-1}$ $V_i$y uno de$V_i$$V_{i+1}$. Puedo comprobar que la imagen de la primera compuesta caos es el núcleo de la segunda compuesto lío, que de hecho lo es.

Pregunta: Estoy hecho? Está mostrando exactitud en uno de esos $V_i$ suficiente? La pregunta que ahora me lleva a preocuparse por el caso fueron el original de la secuencia no es infinita en ambas direcciones...no estoy seguro de cómo ese caso es diferente?

Answer 1

Bien, $V_i$ es un objeto cualquiera de los supuestos de la secuencia exacta, así que si usted comprueba la exactitud de ahí, lo que significa que está hecho.

O, lo que significa que está hecho de comprobar que la secuencia de $V_i$ es una secuencia exacta, que no es bastante lo que se dispuso a probar.

Se dispuso a probar que tal una secuencia exacta de $V_i$ "es lo mismo que tener una colección de breves tal que...", y, sin embargo, se mostró simplemente una manera: si usted tiene una colección de breves secuencias exactas, puede empalme de ellos.

Ahora usted debe demostrar que dada una larga secuencia exacta puede cortarla en resumen exacto de las secuencias.

A ver que, un diagrama vale más que mil palabras:

donde se definen $K_n=\operatorname{ker}(f_n)$.

El mapa de $K_n\to A_n$ es la inclusión del kernel de $f_n$. Para obtener el mapa de $A_{n+1} \to K_n$, se observa que:

$K_n=\operatorname{ker}(f_n)=\operatorname{im}(f_{n+1})=\frac{A_{n+1}}{\operatorname{ker}(f_{n+1})}=\frac{A_{n+1}}{\operatorname{im}(f_{n+2})}=\operatorname{coker}(f_{n+2})$.

Por lo tanto, definir el mapa de $A_{n+1}\to K_n$ como el cociente mapa de $A_{n+1}$ por la imagen de $f_{n+2}$.

Es claro, por definición, que $0\to K_{n+1}\to A_{n+1}\to K_n\to 0$ son de corto exacta de las secuencias.

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Ahora, usted se preocupe acerca de cómo cortar una larga secuencia exacta en breves secuencias exactas. Usted no debe preocuparse, ya que si

es una secuencia exacta, entonces usted puede ampliar a una secuencia exacta infinito en ambos lados:

$ $

Escribí un par de páginas sobre el empalme y la descomposición exacta de las secuencias de hace algún tiempo, que tiene un par de resultados que puede encontrar útiles. También hay una sección sobre definiciones equivalentes de exacta functors que explota estas consideraciones. Está aquí: está en español, aunque.