Grupo de Galois de $x^4 - 25$.

Question

Para encontrar el grupo de Galois de $x^4 - 25 = (x^2 - 5)(x^2 + 5)$, en primer lugar observo que todas las raíces en $\mathbb{Q}(i,\sqrt{5})$, que es una extensión de grado 4 $\mathbb{Q}$. Una raíz sólo puede ir a sí mismo o su countetrpart negativo, así que entonces es el grupo 4 de Klein?

Answer 1

Sí. $F = \mathbb{Q}(i,\sqrt{5})$ es el campo división del polinomio $f(x) = x^4 - 25$ y $[F:\mathbb{Q}] = 4$, que $\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})$ es el grupo de Klein y cuatro, ya que puede enviar $i \mapsto \pm i$ y $\sqrt{5} \mapsto \pm \sqrt{5}$.

Answer 2

Tienes razón, y su resultado también generaliza. Es un teorema que, dado el $\alpha, \beta \in F$ tal que #% el %#% y $\alpha, \beta$ no son cuadrados perfectos en $\alpha\beta$, entonces la extensión biquadratic $F$ es un campo división del polinomio $F[\sqrt{\alpha}, \sqrt{\beta}]$ % de grupo de Galois correspondiente $f(x) = (x^2 - \alpha)(x^2 - \beta)$.

Este teorema se demuestra aquí.