Resolución de una $n$-integral dimensional

Question

Que $p> - 1$. Encontrar la integral $$ \int\limits_{(0,1)^n} \left( \frac{\min(x_1,...,x_n)}{\max(x_1,...,x_n)} \right)^p dx_1...dx_n. $ $

Answer 1

Considere la integral en el subconjunto de $(0,1)^n$ donde$x_1=\min(x_1,\dots,x_n)$$x_n=\max(x_1,\dots,x_n)$, $$I:=\int_{x_1=0}^1\int_{x_n=x_1}^1\int_{x_1\leq x_2,\dots,x_{n-1}\le x_n} \left(\frac{x_1}{x_n}\right)^p dx_1\dots dx_n\\ =\int_{x_1=0}^1\int_{x_n=x_1}^1 \left(\frac{x_1}{x_n}\right)^p(x_n-x_1)^{n-2} dx_n dx_1\\ =\int_{x_n=0}^1x_n^{n-1}\left(\int_{t=0}^1 t^p(1-t)^{n-2} dt\right) dx_n\\ =\int_{x_n=0}^1x_n^{n-1}B(p+1,n-1) dx_n=\frac{B(p+1,n-1)}{n} $$ donde $B$ es la función Beta.

La integral en $(0,1)^n$ debe $n(n-1)I$, porque tenemos $n(n-1)$ maneras de elegir un par ordenado de las distintas variables entre las $x_1,\dots,x_n$$\min(x_1,\dots,x_n)$$\max(x_1,\dots,x_n)$. Por lo tanto $$\int\limits_{(0,1)^n} \left( \frac{\min(x_1,...,x_n)}{\max(x_1,...,x_n)} \right)^p dx_1...dx_n=(n-1)B(p+1,n-1)=\frac{(n-1)!}{\prod_{i=1}^{n-1} (p+i)}=\frac{1}{\binom{p+n-1}{n-1}}.$$

Answer 2

Hay $n(n-1)$pares $j,k$ así que $x_j=\min\limits_ix_i$ y $x_k=\max\limits_ix_i$. En cada una de estas regiones idénticas, la integral es de $$ \int_0^1\int_0^b\left(\frac ab\right) ^ p (b-a) ^ \,\mathrm {n-2} {d} a\, \mathrm {d} b $$ por lo que sería la suma sobre las regiones idénticas de $n(n-1)$ $$\begin{align} &n(n-1)\int_0^1\int_0^b\left(\frac ab\right)^p(b-a)^{n-2}\,\mathrm{d}a\,\mathrm{d}b\\ &=n(n-1)\int_0^1b^{n-1}\int_0^1a^p(1-a)^{n-2}\,\mathrm{d}a\,\mathrm{d}b\\ &=n(n-1)\int_0^1b^{n-1}\frac{\Gamma(p+1)\Gamma(n-1)}{\Gamma(p+n)}\,\mathrm{d}b\\ &=(n-1)!\frac{\Gamma(p+1)}{\Gamma(p+n)}\\ &=\frac{(n-1)!}{(p+1)(p+2)\cdots(p+n-1)}\\ &=\frac1{\binom{p+n-1}{n-1}} \end {Alinee el} $$