Simetrías locales y globales

Question

Podría alguien que me señale en la dirección de un matemáticamente rigurosa definición de simetrías locales y globales de simetrías de un dado (clásica) la teoría del campo?

De forma heurística sé que las simetrías "ley de la misma en cada punto en el espacio-tiempo", mientras que los locales simetrías "dependen del punto en el espacio-tiempo en el que actúan".

Pero esto parece de alguna manera insatisfactoria. Después de todo, la simetría de Lorentz para un campo escalar $\psi(x)\rightarrow \psi(\Lambda^{-1}x)$ es convencionalmente se llama global de la simetría, pero también claramente $\Lambda^{-1}x$ depende de $x$. Tan ingenuamente aplicar estos aforismos que no funciona!

He reconstruido la siguiente definición de varias fuentes, incluyendo este. Creo que está mal que bien, y yo estoy confuso principios muy diferentes a los que aún no son claras en mi cabeza. ¿La gente está de acuerdo?

Un mundial de simetría es una simetría derivadas de la acción de un número finito de dimensiones Mentira grupo (por ejemplo, grupo de Lorentz, $U(1)$)

Un local de simetría es una simetría derivadas de la acción de un infinito dimensional Mentira grupo.

Si eso es correcto, ¿cómo ve usted el local de la simetría de electromagnetismo $A^{\mu}\rightarrow A^{\mu}+\partial^{\mu}\lambda$ como la acción de una Mentira grupo?

Answer 1

Su propuesta de definiciones no son muy correctas. Voy a esbozar definiciones correctas, pero no voy a dar porque yo no sé cómo usted elige para definir clásica de la teoría de campo.

Un grupo de simetrías es un grupo de transformaciones de simetría donde conseguir cambiar el sistema de forma diferente en diferentes lugares en el espacio/tiempo.

Una simetría global (en el contexto de la teoría de campo), si se comporta de la misma manera en cada punto.

Local simetrías son necesariamente infinito-dimensional, a menos que el espacio-tiempo el colector consta de un número finito de puntos (lo que ocurre en el gauge de la teoría). Global simetrías son generalmente finito-dimensional. Campo de las teorías que se han infinitamente muchos global simetrías son muy interesantes, o no muy interesante, dependiendo de con quien pasar el rato.

Medidor de simetrías son generalmente locales de simetrías. Ellos no tienen que ser. Usted puede evaluar un global $\mathbb{Z}/\mathbb{2Z}$, si usted está en el humor. Pero los más útiles calibre simetrías son los que nos permiten describir la física del electromagnetismo y las fuerzas nucleares en términos de las variables con las interacciones locales. Nuestra descripción de la gravedad en términos de una métrica tensor también implica el indicador de simetrías. Este es quizás más desconcertantes que útil.

Deje $\Sigma$ ser el espacio-tiempo, probablemente,$\mathbb{R}^{3,1}$. El local de la simetría de la $1$-formulario de descripción del electromagnetismo es una acción del grupo de $\mathcal{G} = \{ \lambda: \Sigma \to U(1) \}$ en el campo espacio de $\mathcal{F} \simeq \Omega^1(\Sigma)$, en el que $\lambda$ envía el 1 formulario a- $A$ $1$forma $\lambda \dot{} A$ dado en cada una de las $x$ $\Sigma$ por $$ (\lambda \dot {})_\mu(x) = A_\mu(x) + \lambda^{-1}\partial_\mu \lambda(x). $$ El grupo de gauge transformaciones es el subgrupo $\mathcal{G}_0$ de las funciones que se convierten en la identidad en el infinito. Nosotros aparentemente no se puede medir nada acerca de los fenómenos electromagnéticos que depende de la $\mathcal{F}$$\mathcal{G}$, excepto a través del cociente $\mathcal{F}/\mathcal{G}_0$.