¿Es la truncación t un functor?

Question

Uno de los axiomas de un estructura en t en una categoría triangulada es que cualquier objeto $X$ se puede incrustar en un triángulo distinguido $$ X_0\to X\to X_1\to^+ $$ El trabajo original de Beilinson-Bernstein-Deligne parece sugerir que esta descomposición puede elegirse de forma functorial, pero no soy capaz de deducir por qué debería ser cierto: en particular, estoy intentando demostrar [KS], Prop 10.1.4.i, donde se afirma que la inclusión ${\bf D}^\le \to \bf D$ admite un adjunto derecho $T^{\le 0}$ que generaliza la definición del functor de truncamiento en ${\bf D}=D^b(\cal A)$ la categoría derivada de $\cal A$ con lo obvio $t$ -Estructura.

Editar : Una prueba tentativa es la siguiente (¡fue extremadamente simple!): supongamos que tenemos dos formas de obtener naturales (en $Y\in {\bf D}^\le$ ) isomorfismos $$ {\bf D}^\le (Y, X_0)\cong {\bf D}(Y,X) $$ y $$ {\bf D}^\le (Y, X_0')\cong {\bf D}(Y,X) $$ Ahora simplemente se compara el isomorfismo ${\bf D}^\le (Y, X_0')\cong {\bf D}(Y,X)\cong {\bf D}^\le (Y, X_0)$ y concluir por Yoneda que debe haber un isomofismo $X_0\cong X_0'$ . $\blacksquare$

¿Puede confirmar que es correcto?

[KS] : P. Schapira, M. Kashiwara, Trenes de rodillos en los colectores , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 292 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag.

Answer 1

Supongamos que tienes dos triángulos:

$A\rightarrow X\rightarrow B\rightarrow A[1]$

y

$C\rightarrow X\rightarrow D\rightarrow C[1]$

para que $A,C\in D^{\leq 0}$ y $B,D\in D^{\geq 1}$ . Tenemos un triángulo distinguido

$Hom(A,D[-1])\rightarrow Hom(A,C)\rightarrow Hom(A,X)\rightarrow Hom(A,D).$

Sabemos por definición de la estructura t que $Hom(A,D)=Hom(A,D[-1])=0$ . Por lo tanto, existen morfismos únicos $A\rightarrow C$ y $B\rightarrow D$ haciendo que todas las casillas conmuten. Pero, espera un momento. También tenemos morfismos únicos $C\rightarrow A$ y $D\rightarrow B$ . Por unicidad obtenemos que estos morfismos son isomorfismos.Por lo tanto $A$ y $B$ son únicas hasta el isomorfismo.

Bien. Ahora podemos definir el adjunto derecho $D\rightarrow D^{\leq 0}$ tomando el único A (hasta el isomorfismo) en nuestros triángulos. Del mismo modo se obtienen los adyacentes derechos de $D\rightarrow D^{\leq n}$ utilizando el operador de desplazamiento.