Las derivadas de la tangente generan un conjunto infinito de elementos linealmente independientes

Question

El método de los coeficientes indeterminados requiere, que la entrada de la EDO sea una función que vuelva a alguna combinación lineal de sí misma si se toma la derivada suficientes veces.

La tangente se ofrece como ejemplo de una función que no cumple esta condición. Las derivadas de la tangente producen funciones que contienen potencias cada vez mayores de $\tan^n x$ . Mis libros dicen que son independientes, o mejor dicho, que siempre se producirán nuevos términos independientes al tomar la derivada.

He intentado comprobar esta idea con el wronskian de $\tan^n x$ y $\tan^m x$ pero tengo una función que a menudo es cero,

$(m-n)\tan^{n+m-1}x\sec^2 x$

por lo que no es concluyente. ¿Cómo puedo demostrar simplemente la independencia?

Además, ¿por qué la tangente se comporta tan mal en comparación con el seno y el coseno? No sé si hay una respuesta sucinta a eso, pero pensé en preguntar de todos modos.

Answer 1

Una forma de ver esto es que $\mathrm{tan}$ es meromorfa pero no analítica. En $\pi/2$ la función tangente tiene un polo de orden $1$ y por lo tanto tiene una expansión laurente alrededor de $\pi/2$ de la forma $a_{-1}(x-\pi/2)^{-1} + O(1)$ . A continuación

$$tan^{(n)}(x) = n!(-1)^{n-1}a_{-1}(x-\pi/2)^{-n} + O((x-\pi/2)^{-n+1}).$$

Obviamente, no existe una relación lineal entre estas series de Laurent. La afirmación de su libro es la siguiente.