Mapas conformales en dimensiones superiores

Question

En dimensión 2, sabemos por el teorema de mapeo de Riemann que cualquiera simplemente conectado el dominio ($\neq \mathbb{R}^{2}$) puede ser bijectively asignado en el disco de la unidad con una función que preserva ángulos entre las curvas, es decir es conformal.

He leído la afirmación de que los mapas conformales en dimensiones superiores son bastante aburridos, pero ¿alguien sabe una prueba o incluso un argumento intuitivo que mapas conformales en dimensiones superiores son triviales?

Answer 1

Yo creo que tú estás buscando el teorema de Liouville. Este teorema establece que para $n >2$ si $V_1,V_2 \subset \mathbb{R}^n$ son subconjuntos abiertos y $f : V_1 \rightarrow V_2$ es un buen mapa de conformación, a continuación, $f$ es la restricción de mayores dimensiones analógica de una transformación de Möbius.

Por el camino, observar que no hay ninguna hipótesis sobre la topología de la $V_i$ - no tiene que ser simplemente conectado, etc.

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EDIT : estoy actualizando esta antigua respuesta a enlace a un post del blog de Danny Calegari que contiene un dibujo de un bonito argumento geométrico para el teorema de Liouville.

Answer 2

Debido a que el mapeo de Riemann teorema no se cumple en las dimensiones superiores. Si bien hay todo tipo de conformación de las asignaciones en la dimensión 2, de dimensiones superiores a las del teorema de Liouville restringe todas las posibles conformación de las asignaciones a los que son composiciones de similitudes, traducciones, transformaciones ortogonales y las inversiones. En la generalidad no son contráctiles espacios no homeomórficos (por lo tanto no conformal) a $\mathbb{R}^n$ tal como Whitehead continuo

Como para demostrar el teorema de Liouville, tal vez este artículo es de interés donde se puede ver un boceto de Nevanlinna original de la prueba y la prueba mediante el análisis no estándar.

Answer 3

Creo que esto es una buena referencia para él. Iwaniec, Tadeusz; Martin, teoría de la función geométrica de Gaven y análisis no lineal. Monografías matemáticas de Oxford. La prensa de Clarendon, Oxford University Press, Nueva York, 2001. XVI + 552.

Answer 4

Hay una prueba del teorema de Liouville por Charles Frances con menos cálculos que la mayoría de los otros y llevando algunos intuición. Sin embargo se limita a transforma real-analítico, y está escrito en francés. Ha sido publicado en "L'enseignement mathématique" y hay disponible: http://www.math.u-psud.fr/~frances/liouville2.pdf