¿De cuántas maneras hay para elegir un grupo de$5$ personas de$10$ men y$12$ mujeres si al menos$2$ son mujeres?

Question

Pregunta: Hay$10$ hombres y$12$ mujeres. ¿De cuántas maneras hay para elegir un grupo de$5$ personas donde al menos$2$ son mujeres?

La respuesta correcta es$${12 \choose 2} * {10 \choose 3} + {12 \choose 3} * {10 \choose 2} + {12 \choose 4} * {10 \choose 1} + {12 \choose 5} * {10 \choose 0}$ $, que es bastante directa y correcta.

Pero digamos que elegimos$2$ mujeres primero, y elegimos el resto$3$ de las personas restantes. Entonces la combinación se convierte en${12 \choose 2} * {20 \choose 3}$. Pero no coincide con la primera respuesta. ¿Qué estoy haciendo mal en el segundo proceso?

Answer 1

El problema con el segundo enfoque es el que está contando.

Por ejemplo, si el grupo que elija, es uno con tres mujeres, que iba a contar el mismo grupo de 3 veces.

Para ver esto vamos a la gente de elegir ser $A,B,C,D,E$ donde $A,B,C$ son las tres mujeres. Usted podría tener $A,B$ son mujeres primero elegir y, a continuación, ha $C,D,E$ por la gente que elegir entre el resto. O,C podría ser el primero a las mujeres y $B,D,E$ ser el resto. O $B,C$ ser el primero a las mujeres y $A,D,E$ ser el resto.

En la primera respuesta de este grupo es correctamente sólo se cuentan una vez.

Answer 2

Usted está contando. La cosa es que cada vez que usted elige dos mujeres, y luego otros 3 miembros. Usted también contar con la posibilidad de tener a decir 4 mujeres, 2 de ellas, se cuentan en el primer término y 2 cuentan en segunda. A usted le han contado este caso de nuevo cuando viceversa, es cierto, los últimos 2 mujeres cuentan en el primer término y la primera de las 2 mujeres que cuentan en el segundo término (y manteniendo el hombre mismo). Así que habéis contado este caso dos veces, hay un total de 6 maneras de contar, como apuntan en los comentarios, y así, habrá varios otros casos contados más de una vez.

Answer 3

Usted puede pensar en ${12\choose2}{20\choose3}$ como contar el número de maneras de elegir un $5$-miembro Comité con dos co-líderes, dos de los cuales deben ser las mujeres. El hecho de que se distinguen a dos miembros de cada Comité significa que tu cuenta será más grande que simplemente contando comités (sin guía), porque comisiones con más de dos mujeres tienen más de una manera que co-líderes.