Sabemos que la Aritmética-media Geométrica:
$$a_0=a, \qquad b_0=b$$
$$a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}, \qquad b_n=\sqrt{a_{n-1} b_{n-1}}$$
$$\text{agm} (a,b)=\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n$$
Ahora presentamos a una familia de modificación 'iterada significa':
$$a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}\left(1-\frac{(a_{n-1}-b_{n-1})^2}{(a_{n-1}+b_{n-1})^2} \right)^p$$
$$b_n=\sqrt{a_{n-1} b_{n-1}}\left(1-\frac{(a_{n-1}-b_{n-1})^2}{(a_{n-1}+b_{n-1})^2} \right)^q$$
$$M_{pq} (a,b)=\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n$$
He obtenido los siguientes resultados numéricos:
$$M_{10} (a,b)=\frac{ab}{\text{agm}(a,b)}$$
(Esto es en realidad la Armónica-de la media Geométrica, y este resultado es conocido y fácil de probar).
$$M_{11} (a,b)=\frac{a^2b^2}{\text{agm}^3(a,b)}$$
$$M_{21} (a,b)=\frac{a^3b^3}{\text{agm}^5(a,b)}$$
$$M_{22} (a,b)=\frac{a^4b^4}{\text{agm}^7(a,b)}$$
$$M_{32} (a,b)=\frac{a^5b^5}{\text{agm}^9(a,b)}$$
Yo pienso que el patrón es fácil ver aquí. Aumentamos $p$ por uno y dejar a $q$ de la misma. Luego aumentamos $q$ por uno así.
Para el negativo $p,q$ tenemos una situación correspondiente:
$$M_{0-1} (a,b)=\frac{\text{agm}^3(a,b)}{ab}$$
$$M_{-1-1} (a,b)=\frac{\text{agm}^5(a,b)}{a^2b^2}$$
Y así sucesivamente.
Cómo podemos probar esta observación? ¿Hay alguna forma de demostrar que para el caso general, porque me parece poco probable que podamos directamente probar algo como:
$$M_{100,100} (a,b)=\frac{a^{200}b^{200}}{\text{agm}^{399}(a,b)}$$
En casos particulares, la 'modificación' presentado aquí se convierte en una refiero a otro.
$$\frac{a+b}{2}\left(1-\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} \right)=\frac{a+b}{2} \frac{4 ab}{(a+b)^2}=\frac{2 ab}{a+b}$$
$$\frac{a+b}{2}\left(1-\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} \right)^{1/2}=\frac{a+b}{2} \frac{2 \sqrt{ab}}{a+b}=\sqrt{ab}$$
$$\sqrt{ab} \left(1-\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} \right)^{1/2}=\frac{2a b }{a+b}$$
$$\sqrt{ab} \left(1-\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} \right)^{-1/2}=\frac{a+b}{2}$$
etc. En el caso general, es probable que no siempre se traduce en una media.
Y el 'iterada significa" por encima ciertamente no significa que en el caso general, ya que los límites para las grandes positivo o negativo $p,q$ pueden ir a cero o infinito.
