Estoy estudiando electrodinámica por Griffith. En el capítulo potencial, me encontré con esto.
ps
¿Puede alguien por favor mostrarme cómo consiguió esto?
¡Cualquier ayuda será apreciada!
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Renan
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Sugerencia. Uno puede recordar que, por la expansión en series de Taylor, $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}n=-\log (1-z), \quad |z|<1, \tag1 $$ dando $$ \sum_{n=1,3,5...} \frac{z^n}{n}=\frac12\log \left(\frac{1+z}{1-z}\right) \quad |z|<1. \tag2 $$
A continuación, puede aplicar $(2)$ con $$ z=e^{\Large -\frac{\pi x}} e^{\Large -\frac{i\pi y}} $$ y tomar el imaginario partes, observando que $$ \text{Im }\frac{z^n}n=\frac1ne^{\Large -\frac{\pi n x}}\sin{\frac{n\pi y}{a}}, \qquad \text{Im }\frac12\log \left(\frac{1+z}{1-z}\right)=\frac12\arg \left(\frac{1+z}{1-z}\right). $$
Aquí $\displaystyle \log z$ denota el principal valor del logaritmo definido por $$ \begin{align} \displaystyle \log z = \ln |z| + i \: \mathrm{arg}\:z, \quad -\pi <\mathrm{arg}\: z \leq \pi,\quad z \neq 0. \end{align} $$
Tenga en cuenta que tenemos
$$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{ e^{-(2n-1)\pi x/a}\sin\left((2n-1)\pi y/a\right)}{2n-1}&=\frac{\pi}{a}\sum_{n=1}^\infty e^{-(2n-1)\pi x/a} \,\int_0^y \cos((2n-1)\pi y'/a) \,dy'\\\\ &=\frac{\pi}{a} \int_0^y \sum_{n=1}^\infty e^{-(2n-1)\pi x/a} \, \cos((2n-1)\pi y'/a) \,dy'\\\\ &=\frac{\pi}{a} \text{Re}\left(\int_0^y \sum_{n=1}^\infty e^{-(2n-1)\pi(x+iy') /a} \,dy'\right)\\\\ &=\frac{\pi}{2a} \text{Re}\left(\int_0^y \frac{1}{\sinh\left(\pi(x+iy')/a\right)} \,dy'\right)\\\\ &=\frac12 \text{Re}\left(\int_0^{\pi y/a} \frac{1}{\sinh\left(\pi x/a+iy'\right)} \,dy'\right)\\\\ &=\frac12 \text{Re}\left(\int_0^{\pi y/a} \frac{1}{\sinh\left(\pi x/a\right)\cos(y')+i\cosh(\pi x/a)\sin(y')} \,dy'\right)\\\\ &=\frac12 \int_0^{\pi y/a} \frac{\sinh\left(\pi x/a\right)\cos(y')}{\sinh^2\left(\pi x/a\right)\cos^2(y')+\cosh^2(\pi x/a)\sin^2(y')} \,dy'\\\\ &=\frac12 \arctan\left(\frac{\sin(\pi y/a)}{\sinh(\pi x/a)}\right) \end {align} $$
como se iba a mostrar!
NOTA:
El intercambio de integración y suma es justificable ya que la serie converge uniformemente.
