¿Es normal que las funciones físicas carezcan de una segunda derivada?

Question

Mi pregunta es acerca de la aparición de un no-analítica de la función en la fórmula para la fuerza de resistencia en el aire o de otro medio. Considerando el 1-dimensional caso cubierto por Walter Lewin en su 8.01 conferencia, la magnitud de la fuerza de resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad del objeto, que nos llevan a ser una esfera. En otras palabras

$$|F|=cv^2$$ con la fuerza en la dirección opuesta a la del movimiento del objeto.

La constante $c$ depende de la esfera de la radio, el coeficiente de arrastre de aire y así sucesivamente, pero por conveniencia de elegir valores que hacen de la $c=1$.

Entiendo que esto es una aproximación, y en realidad hay un $v$ plazo, así como el $v^2$ plazo, y tal vez otros términos como bueno, pero no creo que invalida mi pregunta.

Con eso dicho, aquí hay un gráfico de la fuerza de resistencia $F$ como una función de la $v$:

Porque el signo de la fuerza es opuesta a la de la velocidad, la ecuación puede ser muy bien escrito $$F=-v|v|$$

Aunque esta función se ve suave y tiene un derivado, $2|x|$, no tiene una segunda derivada. No es inusual para una ecuación simple de un fenómeno físico en el de la mecánica clásica a la falta de una segunda derivada? Es intuitivo para mí que la fuerza no tiene una segunda derivada. Físicamente, no siento nada no liso que está pasando.

Mi pregunta: Es normal encontrar funciones en la mecánica clásica sin segunda derivada, y si no, ¿cuál es la explicación para encontrar uno aquí?

Agregado: Para cualquier persona interesada en este tema, una pregunta relacionada con la que apareció más en MathOverflow y hay varias buenas respuestas.

Answer 1

Que función tiene una bien definida la segunda derivada en cada punto con la excepción de $v=0$, lo cual es perfectamente razonable cosa que suceda en la física. Es a menudo el caso de que los diferentes dominios de un sistema tiene un comportamiento diferente, y en una continua aproximación, estos dominios tienen bordes afilados, que puede conducir a la segunda (o el primer) derivados que no están bien definidos en puntos aislados.

Esto no es normalmente un problema, ya que sólo alguna vez lidiar con medidas aproximadas de la física. Usted puede estar familiarizado con la idea de que es imposible que una medición para producir un exacto valor racional; esto es, básicamente, la misma idea. El comportamiento de una función en un solo punto aislado (o cualquier conjunto de puntos de medida cero, creo) es irrelevante, porque nunca vas a muestra el valor en ese exacto punto matemático en la práctica.

Si se habla de una función cuya segunda derivada no se definió en cualquier lugar, que sería un asunto completamente diferente. No se suelen tratar con ese tipo de funciones en la física.

Answer 2

Como dice David, la suavidad es algo muy sutil.

Hay "funciones analíticas" que tienen todos los derivados y, de hecho, son iguales a su expansión de Taylor en todas partes en una vecindad de cualquier punto. Esas funciones son muy naturales en el complejo cálculo y física, también. Cada función que aparece en la física puede ser al menos "aproximada" de funciones analíticas de forma arbitraria con precisión. En este sentido, la analítica y "totalmente lisa" funciones son suficientes.

Sin embargo, la física también nos permite trabajar directamente con las funciones que no son lisas, porque a veces son naturales y necesarios. Por ejemplo, su función $$ F(v) = -v |v| $$ pueden ser diferenciados en todas partes mediante un formalismo de las distribuciones que Paul Dirac introducido en la física (y las matemáticas) y que llegó a ser muy importante en la física. La primera derivada es $$ F'(v) = -2v \cdot \epsilon(v) $$ donde el epsilon función es el signo de la función. Sin embargo, lo curioso es que podemos dar un compacto de la fórmula para la derivada de $F'$ es decir, la segunda derivada de $F$, demasiado. Es: $$ F''(v) = -2\epsilon(v) - 4v \delta(v) $$ donde he usado la derivada de $\epsilon$ es dos veces la derivada de la ordinaria de la función de paso de $\theta(v)$ y el segundo no es más que la delta de Dirac-función. Esta forma de $F''(v)$ conoce acerca de la unsmoothness en $v=0$ y nos permite integrarse de nuevo para volver a $F'$ y, a continuación, a $F$ (plus minus una integración constante).

Cuando busque en la física moderna, la literatura, la encontrará delta-funciones y sus derivados en casi todas partes, lo que también significa que usted puede encontrar el paso de las funciones (o epsilon) y funciones como $-v|v|$ que no son completamente lisas (infinitamente diferenciable o analítica).

En gran medida, puede exigir de todas las funciones de la física a ser infinitamente suave y realmente no se pierde nada. Sin embargo, a menudo es más conveniente para permitir entrecortado e incluso funciones discontinuas (y sus derivados que incluyen delta-funciones etc.) y trabajar con ellos directamente. Los físicos saben cómo hacerlo de manera eficiente. Eso es por ejemplo lo que continua de las bases de la mecánica cuántica o funciones de Green.

Hay varias universal de la física de condiciones tales como la normalizability de las funciones de onda o de la finitud de la energía, que limitan las permitidas las formas de las funciones que aparecen en el campo o en las funciones de onda, etc. Para condiciones específicas, se puede reformular en formas equivalentes. Sin embargo, el universal gran pregunta "debemos permitir entrecortado funciones en la física" en realidad no tiene un objetivo universal de respuesta. Es a menudo hasta el gusto de un físico. La mayoría de los físicos generalmente no se preocupa por las cosas demasiado. Si usted desarrolla un marco axiomático para los campos o las funciones de onda, etc., usted debe decidir cuánto entrecortado o patológico funciones que permiten. Pero esas elecciones no van a cambiar realmente la física "contenido" de las teorías, porque entrecortado funciones siempre puede ser arbitrariamente se aproximó por la suave y viceversa.