Tarea: Construir un campo vectorial $v:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ tal que todos los círculos que "tocan" el eje y en el origen (es decir, la derivada en $(0,0)$ está en forma $(0,a)$ para algunos $a$ ) son líneas de campo de este campo, y este campo vectorial tiene que ser continuamente diferenciable.
Mis pensamientos:
Podría ser así (hasta la dirección):
Al principio considero el caso $x>0$ (la mitad derecha del plano). Mi idea era parametrizar cada círculo que "toca" el eje y de la siguiente manera: $$\begin{align}x-r&=r\cdot \cos(t)\\y&=r\cdot \sin(t)\end{align}$$ e implica
$$\begin{align}x&=r\cdot( \cos(t)+1)\\y&=r\cdot \sin(t)\end{align}$$
También para cada punto $(x,y)$ en $\mathbb{R}^2$ ( $x>0$ ) sólo hay una $r$ tal que $(x-r)^2+y^2=r^2$ :
$$\begin{align} (x-r)^2+y^2&=r^2\\ x^2-2xr+r^2+y^2&=r^2\\ x^2-2xr+y^2&=0 \end{align} $$
y por lo tanto $r=\frac{x^2+y^2}{2x}$ .
Si quiero que todos esos círculos sean las líneas de campo, tengo que establecer los valores de $v$ para ser las derivadas de la curva: $$\frac{d}{dt}c(t)=\frac{d}{dt}(r\cdot(\cos(t)+1),r\cdot\sin(t))=(-r\sin(t),r\cos(t))$$
Así que el campo vectorial $v$ podría ser $$v(x,y)=v(r\cdot(\cos(t)+1),r\cdot\sin(t))=(-r\sin(t),r\cos(t))=(-y,x-r)=(-y,x-\frac{x^2+y^2}{2x})=(-y,\frac{x^2-y^2}{2x})$$
Ce site $v$ es en realidad la función trazada arriba. Así que la cuestión es ahora si esta función es continuamente diferenciable o no. El punto crítico es cuando $x$ está cerca de $0$ . Si miramos la derivada parcial, entonces
$$\partial_xv=(0,\frac{x^2+y^2}{2x^2})$$
y diverge cuando $x\rightarrow 0$ Así que parece que este $v$ no es adecuado, pero creo que el verdadero $v$ debe ser de alguna manera similar a la dada $v$ .
Pero estas son sólo mis consideraciones que seguramente pueden estar equivocadas.
Le agradecería su ayuda.
