Ejemplo de haz de líneas amplio $L$ con $L^{\otimes m}$ muy amplio y $L^{\otimes (m+1)}$ no es muy amplio

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad proyectiva suave sobre $\mathbb{C}$ . ¿Hay un paquete de línea amplia $L$ tal que $L^{\otimes m}$ es muy amplio, pero $L^{\otimes(m+1)}$ no es muy amplio?

Espero que tal $L$ de existir, aunque no he sido capaz de construir uno. Por supuesto, hay un umbral $M > 0$ tal que $L^{\otimes m}$ es muy amplio para todos $m \geq M$ (este es el teorema de Matsusaka), pero mi interés está en el intervalo de $m$ antes de que se alcance este umbral.

Si esto es cierto o falso bajo diferentes hipótesis (digamos, sobre un campo de característica positiva o quitando/debilitando la suavidad), ¡me interesaría escucharlo!

Answer 1

Tomemos una curva cuaternaria suave $C$ en el plano proyectivo con un punto $P\in C$ tal que la línea tangente en $P$ lo conoce sólo en $P$ (cuatro veces). Por ejemplo, puede tomar $C$ para ser definido por $x^4+y^4+yz^3=0$ y $P=(0,0,1)$ . Entonces $\mathcal{O}_C(4P)=\mathcal{O}_C(1)=K_C$ y por lo tanto muy amplio. Pero $\mathcal{O}_C(5P)=K_C+P$ siempre tiene $P$ como punto base y, por lo tanto, no es muy amplio.