La pregunta me pide probar lo siguiente a través de la inducción:
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2^n} \geq 1 + \frac{n}{2}$
Esta es mi prueba hasta el momento:
Demostrando cierto para $n = 1$ \begin{align*} 1 + \frac{1}{2} &\geq 1 + \frac{1}{2}\\ \end{align*} Suponiendo cierto para $n = k$ \begin{align*} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2} \end{align*} Demostrando cierto para $n = k + 1$ \begin{align*} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^{k+1}} &\geq 1 + \frac{k}{2} + \frac{1}{2}\\ (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2^k}) + \frac{1}{2^{k+1}} &\geq (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2^k}) + \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2^{k+1}} &\geq \frac{1}{2}\\ \end{align*}
Me di cuenta de que en la última declaración de que algo estaba fuera, debido a que la última afirmación se contradice con lo que yo estoy tratando de probar. Entonces me di cuenta de que era debido a que la diferencia entre el $\frac{1}{2^k}$ $\frac{1}{2^{k + 1}}$ conjuntos no era simplemente la adición de $\frac{1}{2^{k + 1}}$, sino más bien, todos los números entre el$\frac{1}{2^k}$$\frac{1}{2^{k + 1}}$.
Por ejemplo n = 1 es $1 + \frac{1}{2}$, pero $n = 2$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$. (tenga en cuenta la adición de $\frac{1}{3}$.)
Entonces, ¿cómo puedo representar este rango?
Creo que mi prueba de obras, excepto por el hecho de que $\frac{1}{2^{k + 1}}$ necesita ser reemplazado con algo más, yo no sé lo que es.
