Distancia recorrida por una pelota que rebota con rebotes exponencialmente decrecientes

Question

Esta es una especie de pregunta de impar, pero puede alguien por favor decirme que estoy loco con la siguiente pregunta, hice los cálculos, y lo que me dicen que pruebe es simplemente incorrecto:

Pregunta: Demuestre que una pelota que se deja caer desde una altura de h pies y rebota de tal manera que cada rebote es $\frac34$ de la altura del rebote antes de recorrer una distancia total de 7 h pies.

Mi trabajo: $$\sum_{n=0}^{\infty} h \left(\frac34\right)^n = 4h$$

Obviamente 4 h no es igual a 7 h . ¿Qué obtiene la comunidad?

Sé que mis cálculos son correctos, veo Wolfram Alpha y confirma mis cálculos, sólo queda mi fórmula, o que el profesor sea incorrecto...

Editar: Gracias a todos por señalarme el fallo, debería ser algo así: $$\sum_{n=0}^{\infty} -h + 2h \left(\frac34\right)^n = 7h$$

¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Sugerencia: Te olvidas de contar la distancia recorrida en la subida desde el rebote. Si la caída inicial es desde la altura $h$ La pelota rebota hacia arriba $\frac{3h}{4}$ y luego cae desde la misma distancia, y así sucesivamente.

Answer 2

Ten en cuenta que cuando la pelota rebota va tanto hacia arriba como hacia abajo. Por tanto, a partir del segundo término, hay que contar cada término dos veces. Por lo tanto, la respuesta es $2 \cdot 4h - h = 7h$ ( $h$ es el primer término, que sólo se cuenta una vez).

Answer 3

Su cálculo no da la distancia total recorrida Sólo indica la distancia que ha recorrido hacia abajo.

El balón cae primero $h$ . Entonces sube $\frac{3}{4}h$ y caídas $\frac{3}{4}h$ de nuevo; entonces sube $(\frac{3}{4})^2h$ y vuelve a caer tanto. Etc.

Así que la distancia total recorrida por la pelota es $$h + 2h\left(\frac{3}{4}\right) + 2h\left(\frac{3}{4}\right)^2 + \cdots = h + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3h}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}.$$

Esto da, por la fórmula habitual, una distancia total de: $$ h + \frac{\quad\frac{3h}{2}\quad}{1 - \frac{3}{4}} = h + \frac{\quad\frac{3h}{2}\quad}{\frac{1}{4}} = h + \frac{12h}{2} = 7h.$$

Answer 4

Para obtener la simetría -un patrón completo de dientes de sierra- supongamos que la pelota se lanza primero desde el suelo hasta la altura $h$ . La distancia total $x$ es la del primer diente $= 2h$ más el diente de sierra restante $= 3/4\ x$ . Así, $x =\: 2h + 3/4\ x,\ $ así que $x = 8h\:.\ $ Restando las hojas de lanzamiento iniciales $7h.$

Answer 5

Antes de saltar a una fórmula, vamos a calcular un poco. La distancia recorrida hasta el primer contacto con el suelo es $h$ .

La distancia recorrida entre el primer contacto y el segundo es $(h)(2)(3/4)$ (arriba y luego abajo). La distancia recorrida desde el segundo contacto hasta el tercero es $(h)(2)(3/4)^2$ y así sucesivamente.

Así que la distancia total recorrida es $$h+(h)(2)\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^n$$

Por último, suma la serie infinita. Esa suma es $3$ , lo que da un total de $7h$ .