¿Por qué el $ \log $ es tan especial?

Question

Cuando aprendí por primera vez sobre la función del logaritmo $ \log $ o $ \ln $ . Mi profesor dijo que $ \log x$ es una función que cuando derivamos obtenemos la función inversa $1/x$ . Este $ \log $ se vuelve muy popular y "cambia el mundo". Me gustaría preguntar por qué el $ \log $ función es tan especial? ¿Cuál es la historia detrás de tal función?

Quiero decir que hay muchas otras funciones de las que no conocemos sus antiderivados, por ejemplo, $e^{x^2}$ . ¿Por qué no decimos que por ejemplo una función llamada ' $ \textrm {something}$ y cuando lo derivamos obtenemos $e^{x^2}$ . Puede que dé el mal ejemplo aquí porque $e^{x^2}$ tiene algo que ver con Gauss, pero me refiero a por qué exactamente $1/x$ , $ \log x$ y $ \exp x$ ?

Answer 1

No hace mucho vi un gráfico que mostraba el precio del bitcoin durante los últimos cuatro años más o menos (actualmente en el $\$ 400 \text {--} \$500$ rango; fue entre $\$ 2 $ and $ \$3$ en el otoño de 2011). Se veía así: \begin {\i1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}Aquí.{\b}{\b1} 5000 \\ [20pt] 500 \\ [20pt] 50 \\ [20pt] 5 \\ [20pt] 0.50 \\ [20pt] 0.05 \\ [20pt] & & 2009 & \qquad\qquad & 2010 & \qquad\qquad &2011 & \qquad\qquad & 2012 & \qquad\qquad & 2013 \end {arriba} . . . con una curva, que no se ve aquí. Cada vez que el precio se pone multiplicado por $10$ una cierta cantidad de dinero añadió a la altura de la curva sobre el eje horizontal. En otras palabras, la altura sobre el eje vertical es una logaritmo del precio.

Tiene sentido hacer las cosas de esta manera, ya que si compras $\$ 1 $ worth of this commodity at any time, then its dollar-value at a later time depends only on how many times it got multiplied by $ 10 $. Now suppose it went from $ \$0.05$ a $\$ 0.50 $ over some early six-month period, and in some much later six-month period of the same number of weeks it went from $ \$50$ a $\$ 500 $. In each case the logarithm increased by $ 1 $ in the same time. How fast did the logarithm change? The rate was $ Una unidad de 1$ por seis meses. En ambos casos. ¿Qué tan rápido cambió el precio? La tasa fue $\$ 0.45 $ cents per six months in the first case and $ \$450$ por seis meses en el segundo caso. Multiplicando cada uno por el recíproco del tamaño del aumento de precio, obtenemos $\$ 0.45 \times\dfrac {1}{ \$0.45}$ en el primer caso, es decir. $1$ por seis meses, y en el segundo caso tenemos $\$ 450 \times\dfrac {1}{ \$450}$ otra vez $1$ por seis meses. Es decir, la tasa a la que el logaritmo de los cambios de precio es la tasa de cambio de precio por el recíproco del precio. Ahí es donde $(d/dx) \log x = 1/x$ aparece.

Una respuesta completa a la pregunta sería al menos 100 veces más larga; este es sólo un ejemplo.

Answer 2

Los logaritmos convierten la multiplicación (difícil) en la suma (fácil). Lo que sigue no es el origen histórico de $ \log $ sólo una forma de construyendo $ \log $ y $ \exp $ usando sólo herramientas de cálculo elemental.

Si definimos $$ \log x = \int_ {1}^{x} \frac {dt}{t}, \quad x > 0, $$ entonces para todos $a$ , $b > 0$ , \begin {alineado*} \log (ab) = \int_ {1}{ab} \frac {\i1}{\b1}{\b1} &= \int_ {1}^{a} \frac {dt}{t} + \int_ {a}}{ab} \frac {\i1}{\b1}{\b1} \\ &= \int_ {1}^{a} \frac {dt}{t} + \int_ {1}^{b} \frac {\a6} {\a6} {\a6} {\a6} {\a6} {\a6} \\ &= \int_ {1}^{a} \frac {dt}{t} + \int_ {1}^{b} \frac {\i1}{\b1}{\b1} \\ &= \log a + \log b. \end {alineado*} El hecho clave es que el diferencial $dt/t$ es invariable bajo la escala $t \mapsto at$ . (Este cálculo no es el origen histórico de $ \log $ pero es una aplicación elemental pero importante de cambio de variables).

Aquí hay dos sentidos en los que la suma es más fácil que la multiplicación. Primero, si la suma o la multiplicación de dos dígitos se considera una "operación", entonces la suma de dos $n$ -los números de dígitos implican $O(n)$ operaciones, mientras se multiplica por dos $n$ -los números de dígitos requieren $O(n^{2})$ operaciones. En segundo lugar, la adición puede realizarse con un dispositivo analógico concatenando longitudes de intervalos; a regla de cálculo realiza la multiplicación exactamente de esta manera.

Además, los logaritmos convierten la exponenciación en multiplicación. Argumentos inductivos usando $$ \log (ab) = \log a + \log b $$ mostrar $ \log (a^{n}) = n \log a$ para todos los números enteros $n$ . Desde $(a^{n/m})^{m} = a^{n}$ se deduce que $$ m \log (a^{n/m}) = \log (a^{n}) = n \log a, \quad\text {i.e.} \quad \log (a^{n/m}) = (n/m) \log a. $$ Uno podría ser llevado de esta manera a definir la exponenciación real, de modo que $ \log (a^{x}) = x \log a$ de verdad $x$ . (Con más detalle, $ \log $ es diferenciable en $(0, \infty )$ y tiene un derivado positivo, así que $ \log $ es estrictamente creciente, y por lo tanto tiene una función inversa diferenciable $ \exp $ . (IIRC, la regla de la cadena aplicada a la identidad $ \log\bigl ( \exp (x) \bigr ) = x$ muestra $ \exp ' = \exp $ .) En particular, la función $$ a^{x} = \exp (x \log a) $$ es diferenciable y amplía la definición algebraica " $a^{n/m}$ es el $m$ la raíz de $a^{n}$ a exponentes reales arbitrarios".)