Encontrar un campo relacionado$F$ en$\mathbb{RP}^2$

Question

Estoy tratando de probar el siguiente ejercicio en el libro Introducción a la Suave Colectores - J. M. Lee.

Deje $F: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb{RP}^2$ ser el buen mapa $F(x,y)= [x,y,1]$, y deje $X\in \mathfrak X(\mathbb R^2)$ definido por $X= x\frac{\partial}{\partial y} -y\frac{\partial}{\partial x}$. Probar que existe un campo de vectores $Y\in\mathfrak X (\mathbb{RP}^2)$ que es $F$-relativa a la $X$, y calcular las coordenadas de la representación en los términos de cada uno de los gráficos estándar de $\mathbb{RP}^2$.

Me di cuenta de que $F$ es la inversa de una tabla y calcula $dF(X)$ y no sé qué hacer a continuación.

Answer 1

He aquí un intento de: a continuación Lee la notación, $F = \varphi_{3}^{-1}$ donde $\varphi_3$ es el estándar de la tabla definida en el conjunto abierto $U_3 = \{ [x,y,z] \, : \, z \neq 0 \}$. Por lo tanto, se define automáticamente un $F$relacionados con el campo de vectores $Y$ en el conjunto abierto $U_3$ empujando hacia adelante.

Ahora, si un punto de $p$ se encuentra en $U_i \cap U_3$$i = 1,2$, sabemos que la matriz de cambio de base de la base de $T_p \mathbb{RP}^2$ inducida por $\varphi_3$ a la base inducida por $\varphi_i$ está dado por el jacobiano de la función de transición, $$J (\varphi_i \circ \varphi_3^{-1}) \left( \varphi_3 (p) \right) $$

Esto nos va a permitir encontrar la expresión de $Y$ en la otra base de $T_p \mathbb{RP}^2$ y por lo tanto su expresión en coordenadas con respecto a los otros gráficos. Esta expresión podría ser utilizado, a su vez, para definir $Y$ $U_i$ en un diferenciable manera y así, podemos obtener un definido globalmente campo de vectores $Y \in \mathfrak{X} (\mathbb{RP}^2)$.

Para la concreción, decir que $$p = \varphi_3^{-1} (x,y) = [x,y,1] = [u, 1, v] = \varphi_2^{-1} (u,v) \text{ .}$$ Following Lee's abuse of notation we'll also denote the respective basis of $T_p \mathbb{RP}^2$ by $\{ \parcial / \partial x, \partial / \partial y \}$ and $\{ \parcial / \partial u, \partial / \partial v \}$. In this case, the transition function is given by $$\varphi_2 \circ \varphi_3^{-1} (x,y) = \left( \frac{x}{y}, \frac{1}{y} \right)$$ and so we have $$Y_p = \left( - 1 - \frac{x^2}{y^2} \right) \frac{\partial }{\partial u} \bigg|_p - \frac{x}{y^2} \frac{\partial }{\partial v} \bigg|_p = -\left( 1 + u^2 \right) \frac{\partial }{\partial u} \bigg|_p - uv \frac{\partial }{\partial v} \bigg|_p \text{ ,}$$ de modo que sus coordenadas representación con respecto a la tabla de $\varphi_2$ sería $$\hat{Y} (u,v) = \tilde{\varphi_2} \circ Y \circ \varphi_2^{-1} (u,v) = \left( u, v, - (1 + u^2), - uv \right) \text{ ,}$$ y su definición en $U_2$ estaría dado por consiguiente (por supuesto, aquí se estaría usando que funciones diferenciables definidas en abrir establece que de acuerdo en sus intersecciones definir globalmente función derivable para asegurarse de que Y es, de hecho, en $\mathfrak{X} (\mathbb{RP}^2)$).

Answer 2

Es una manera de integrar el campo de vectores y tenga en cuenta que la acción en $\mathbb R^2$ se extiende a $\mathbb {RP}^2$. Deje $\phi_t : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ ser dada por

$$ \phi_t \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}.$$

A continuación, puede ver que $\frac{d}{dt} \phi_t |_{t=0}$ es su campo de vectores. Ahora vamos a definir los $\Phi_t : \mathbb{RP}^2 \to \mathbb{RP}^2$ $\Phi_t [\vec x] = [C_t \vec x]$ aquí $C_t$ es la matriz

$$C_t =\begin{pmatrix} \cos t & -\sin t & 0 \\ \sin t & \cos t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Uno puede comprobar que $ F \circ \phi_t = \Phi_t \circ F$, lo $\Phi_t$ es una extensión de $\phi_t$. En particular,

$$Y = \frac{d}{dt} \Phi_t\bigg|_{t=0}$$

es un campo de vectores en $\mathbb {RP}^2$ que se extiende $dF(X)$. Las coordenadas de expresión está más o menos cubierto en otra respuesta, así que me limitaré a dejar que usted.

Comentario En general, cualquier transformación afín

$$A\vec x = \begin{pmatrix} a & b \\ c& d\end{pmatrix}\vec x + \begin{pmatrix} e \\ f\end{pmatrix}$$

puede ser extendida a una transformación proyectiva $\widetilde A : \mathbb{RP}^2 \to \mathbb{RP}^2$ $\widetilde A [\vec x] = [C\vec x]$ donde $C$ es la matriz

$$ C = \begin{pmatrix} a& b& e \\ c & d & f \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix}.$$