Calcula : $\int\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5x}+6}~dx$

Question

Pregunta: Calcule esta integral $$\int\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5x}+6}~dx$$

Mi enfoque:

$$\int\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5x}+6}~dx$$ $$=\int\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5x}+6}\times \frac{{\sqrt{x^2+5x}-6}}{{\sqrt{x^2+5x}-6}}~dx$$ $$\int\frac{(x+2)(\sqrt{x^2+5x})}{x^2+5x-36}~dx- \underbrace {~\int\frac{(6x+12)}{x^2+5x-36}~dx~}_{\text{This one I know how to deal with} }\text{Now:} ~\int\frac{(x+2)(\sqrt{x^2+5x})}{x^2+5x-36}~dx=\frac{1}{2}\int\frac{(2x+5-1)(\sqrt{x^2+5x})}{x^2+5x-36}~dx=\frac{1}{2}\int\frac{(2x+5)(\sqrt{x^2+5x})}{x^2+5x-36}~dx- \frac{1}{2}\int\frac{(\sqrt{x^2+5x})}{x^2+5x-36}~dx\Big( \text{Let} ~ x^2+5x=t \implies (2x+5)~dx = dt \Big) \underbrace{\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{t}}{t-36}~dt}_{\text{I can deal with this}} ~~- \frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{x^2+5x}}{x^2+5x-36}~dx$$

Ahora estoy atascado. No puedo calcular: $$\int \frac{\sqrt{x^2+5x}}{x^2+5x-36}~dx$$

P.D: Soy estudiante de bachillerato, así que por favor intenta utilizar sólo integrales elementales; es decir, integración por partes y sustitución. No sé cómo usar números complejos en la integración, integrales múltiples, función de error, etc. (No sé si se puede usar aquí o no, sólo lo aclaro).

Según la respuesta de @Kanwaljit Singh: Finalmente tengo que calcular: $$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+5x}-6}$$

Pero si fuera capaz de calcularlo, lo habría hecho en el primer paso, id est ;

$$\int \frac{x+2}{\sqrt{x^2+5x}+6}~dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x+5-1}{\sqrt{x^2+5x}+6}~dx \\ \frac{1}{2}\int \frac{2x+5}{\sqrt{x^2+5x}+6}~dx ~- \frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{x^2+5x}+6}~dx \\ \Big( \text{Let} ~ x^2+5x=t \implies (2x+5)~dx = dt \Big) \\ \underbrace{\frac{1}{2}\int \frac{1}{t+6}~dt}_{\text{Doable}} ~-~\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{x^2+5x}+6}~dx \\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+5x}+6}~dx$$

Se llega a un paso similar por un camino corto.

Pero, ¿cómo se computa ésta?

Una captura de pantalla de esta pregunta:

Answer 1

$$I = \int\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5x}+6}\, dx$$ $$\int\frac{\frac{1}{2}(2x+4)}{\sqrt{x^2+5x}+6}\, dx$$ $$\frac{1}{2}\int\frac{2x+ 5 -1}{\sqrt{x^2+5x}+6}\, dx$$ $$\underbrace{\frac{1}{2}\int\frac{2x+5}{\sqrt{x^2+5x}+6}\, dx}_{I_1}\, -\underbrace{\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^2+5x}+6}\, dx}_{I_2}$$
La primera integral $I_1$ $$I_1 = \frac{1}{2}\int\frac{2x+5}{\sqrt{x^2+5x}+6}\, dx$$ Set $u = x^2+5x \implies \frac{du}{dx} = 2x + 5 \iff dx = \frac{du}{(2x + 5)}$ $$\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{u}+6}\, du$$ Set $t =\sqrt{u} \implies \frac{dt}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2t} \iff du = 2t\,dt$ $$\int\frac{t}{t + 6}\, dt = \int\left(1 - \frac{6}{t + 6}\right) \, dt = t - 6\log(t +6) + C$$ Sustituto de la espalda $t = \sqrt{u} = \sqrt{x^2+5x}$

$$I_1 = \sqrt{x^2+5x} - 6\log(\sqrt{x^2+5x} + 6) + C$$

La segunda integral $I_2$ $$I_2 = -\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^2+5x}+6}\, dx$$ $$-\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^2+5x}+6} \,\frac{\sqrt{x^2+5x}-6}{\sqrt{x^2+5x}-6}\, dx$$ $$-\frac{1}{2}\int\frac{\sqrt{x^2+5x}-6}{x^2+5x -36}\, dx$$ $$\underbrace{-\frac{1}{2}\int\frac{\sqrt{x^2+5x}}{x^2+5x -36}\, dx}_{i_1} + \underbrace{3\int\frac{1}{x^2+5x -36}\, dx}_{i_2}$$ Hemos resuelto $i_2$ $$3\int\frac{1}{x^2+5x -36}\, dx$$ $$3\int\frac{1}{(x+9)(x-4)}\, dx$$ $$3\int\frac{1}{13(x-4)}-\frac{1}{13(x+9)}\, dx$$ $$\frac{3}{13}\left( \int\frac{1}{x-4}\, dx\ - \int\frac{1}{x+9}\, dx\right)$$

$$i_2 = \frac{3}{13}\left( \log(x-4) - \log(x+9) \right) +C$$

Hemos resuelto $i_1$ $$-\frac{1}{2}\int\frac{\sqrt{x^2+5x}}{x^2+5x -36}\, dx$$ Dejemos que $x^2+5x = \left(x + \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4}$ entonces $$-\frac{1}{2}\int\frac{\sqrt{\left(x + \frac{5}{2} \right)^2 - \left(\frac{5}{2} \right)^2}}{\left(x + \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{169}{4}}\, dx =$$ derrotamos $a = \frac{5}{2}$ y $u = x + \frac{5}{2} \implies dx = du$ $$-\frac{1}{2}\int\frac{\sqrt{u^2 - a^2}}{u^2 - \left( \frac{13}{2} \right)^2 }\, du$$ Por sustitución trigonométrica

$$\text{Let }\sqrt{u^2 - a^2} = \sqrt{a\sec^2\varTheta - a^2} = \sqrt{a^2(\sec^2\varTheta - 1)} = \sqrt{a^2\tan^2\varTheta} = a\tan\varTheta$$ $$\therefore\, u = a\sec\varTheta \implies du = a\sec\varTheta \tan\varTheta d\varTheta$$ Con estas sustituciones, la integral toma la forma $$-\frac{1}{2}\int\frac{a\tan\varTheta}{\left( a\sec\varTheta\right) ^2 - \left( \frac{13}{2} \right)^2}\, a\sec\varTheta \tan\varTheta\, d\varTheta$$ Desde $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ y $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ entonces tenemos $$u = a\frac{1}{\cos} \implies du = a\frac{\sin\varTheta}{\cos^2\varTheta} d\varTheta$$ $$-\frac{1}{2}\int\frac{\sqrt{\left( a\frac{1}{\cos\varTheta}\right)^2 - a^2}}{\left( a\frac{1}{\cos\varTheta}\right) ^2 - \left( \frac{13}{2} \right)^2 }\, a\frac{\sin\varTheta}{\cos^2\varTheta} d\varTheta$$ $$-\frac{a}{2}\int\frac{\sin\varTheta\sqrt{ a^2\left(\frac{1}{\cos\varTheta}\right)^2 - a^2}}{\cos^2\varTheta\left( a^2\left(\frac{1}{\cos\varTheta}\right)^2 - \left( \frac{13}{2} \right)^2 \right) }\, d\varTheta$$ $$-\frac{a^2}{2}\int\frac{\sin\varTheta\sqrt{\frac{1}{\cos^2\varTheta} - 1 }}{\cos^2\varTheta\left( a^2\frac{1}{\cos^2\varTheta} - \left( \frac{13}{2} \right)^2 \right) }\, d\varTheta$$ Volver $a = \frac{5}{2}$ sustitución $$-\frac{25}{8}\int\frac{\sin\varTheta\sqrt{\frac{1}{\cos^2\varTheta} - 1 }}{\cos^2\varTheta\left( \frac{25}{4}\frac{1}{\cos^2\varTheta} - \frac{169}{4} \right) }\, d\varTheta = -\frac{25}{8}\int\frac{\sin\varTheta\sqrt{\frac{1}{\cos^2\varTheta} - 1 }}{\cos^2\varTheta\frac{1}{4}\left(\frac{25}{\cos^2\varTheta} - 169 \right) }\, d\varTheta = -\frac{25}{8}\int\frac{\sin\varTheta\sqrt{\frac{1}{\cos^2\varTheta} - 1 }}{\cos^2\varTheta\frac{1}{4\cos^2\varTheta}\left(25 - 169\cos^2\varTheta \right) }\, d\varTheta$$ $$-\frac{100}{8}\int\frac{\sin\varTheta\sqrt{\frac{1}{\cos^2\varTheta} - 1 }}{25 - 169\cos^2\varTheta }\, d\varTheta$$ Desde $\cos^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\tan^2(x)}$ $$-\frac{100}{8}\int\frac{\sin\varTheta\sqrt{\frac{1}{\cos^2\varTheta} - 1 }}{\sin^2\varTheta\left( \frac{25}{\sin^2\varTheta} - \frac{169}{\tan^2\varTheta}\right) }\, d\varTheta$$ Dejemos que $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \implies \tan^2(x) + 1 = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} +1 = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)}$ entonces $\frac{1}{\cos^2(x)} = \tan(x) +1$ y $\frac{1}{tan^2(x) +1} = \frac{1}{\sin^2(x)}$ tenemos $$-\frac{100}{8}\int\frac{\sin\varTheta\sqrt{\tan^2\varTheta}}{\sin^2\varTheta\left( \frac{25}{\sin^2\varTheta} - \frac{169}{\sin^2\varTheta}+ 169\right) }\, d\varTheta$$ $$-\frac{100}{8}\int\frac{\sin\varTheta\tan\varTheta}{\sin^2\varTheta\left( \frac{-144}{\sin^2\varTheta} + 169\right) }\, d\varTheta$$ Dejemos que $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ $$-\frac{100}{8}\int\frac{\sin^2\varTheta\frac{1}{\cos\varTheta}}{-\sin^2\varTheta\left( \frac{144}{\sin^2\varTheta} - 169\right) }\, d\varTheta$$ $$\frac{100}{8}\int\frac{\frac{1}{\cos\varTheta}}{\left( \frac{144}{\sin^2\varTheta} - 169\right) }\, d\varTheta$$ $$\frac{100}{8}\int\frac{1}{\frac{\cos\varTheta}{\sin^2\varTheta} \left( 144 - 169\frac{1}{\sin^2\varTheta}\right) }\, d\varTheta$$ Set $$w = \frac{1}{\sin \varTheta} \implies dw = -\frac{\cos\vartheta}{\sin^2\varTheta}$$ $$-\frac{100}{8}\int\frac{1}{144 - 169w^2 }\, wd$$ $$-\frac{100}{8}\int\frac{1}{(12 + 13w)(12 - 13w)}\, wd$$ $$-\frac{100}{8}\int\frac{1}{24(12 + 13w)}-\frac{1}{24(13w - 12)}\, wd$$ $$-\frac{25}{48}\left( \int\frac{1}{12 + 13w}\, wd-\int\frac{1}{13w - 12}\, wd\right)$$ $$-\frac{25}{48}\left( \log(12 + 13w) - \log(13w - 12)\right) +C$$ Ahora, el sustituto de vuelta para conseguir $$u = \frac{5}{2}\frac{1}{\cos\varTheta} \implies \cos\varTheta = \frac{5}{2u}$$ Dejemos que $\sin(x) = \sqrt{1- \cos^2(x)}$ $$\sin\varTheta = \sqrt{1- \cos^2\varTheta} = \sqrt{1- \left( \frac{5}{2u}\right) ^2} = \frac{1}{2u}\sqrt{4u^2 - 25}$$ $$w = \frac{1}{\sin \varTheta} = \frac{2u}{\sqrt{4u^2 - 25}}$$ $$u = x + \frac{5}{2}$$ $$w = \frac{2\left( x + \frac{5}{2}\right) }{\sqrt{4\left( x + \frac{5}{2}\right)^2 - 25}} = \frac{2x + 5}{\sqrt{4(x^2 + 5x + \frac{25}{4}) - 25} } = \frac{2x + 5}{2\sqrt{x^2 + 5x}}$$ También

$$i_1 = -\frac{25}{48}\left( \log\left( 12 + 13\frac{2x + 5}{2\sqrt{x^2 + 5x}}\right) - \log\left( 13\frac{2x + 5}{2\sqrt{x^2 + 5x}} - 12\right) \right) +C$$

La solución: $$I = I_1 + i_1 + i_2$$ Set $t = x^2 + x5$

$$I = \sqrt{t} - 6\log(\sqrt{t} + 6) -\frac{25}{48}\left( \log\left( 12 + 13\frac{2x + 5}{2\sqrt{t}}\right) - \log\left( 13\frac{2x + 5}{2\sqrt{t}} - 12\right) \right) + \frac{3}{13}\left( \log(x-4) - \log(x+9) \right) + C$$

Answer 2

$$\int \frac{\sqrt{x^2+5x}}{x^2+5x-36}~dx$$

$$=\int \frac{\sqrt{x^2+5x}+6-6}{(\sqrt{x^2+5x})^2-6^2}~dx$$

$=\int \frac{\sqrt{x^2+5x}+6}{(\sqrt{x^2+5x}+6)(\sqrt{x^2+5x}-6)} - \int \frac{6}{x^2+5x-36} ~dx$

$$=\int \frac{1}{\sqrt{x^2+5x}-6} - \int \frac{6}{x^2+5x-36} ~dx$$

Espero que pueda seguir adelante.

Answer 3

Introducir el Sustitución de Euler :

Dejemos que $u=\dfrac{\sqrt{x^2+5x}}{x}$ ,

Entonces $x=\dfrac{5}{u^2-1}$

$dx=-\dfrac{10u}{(u^2-1)^2}~du$

$\therefore\int\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+5x}+6}~dx$

$=-\int\dfrac{\dfrac{5}{u^2-1}+2}{\dfrac{5u}{u^2-1}+6}\dfrac{10u}{(u^2-1)^2}~du$

$=-\int\dfrac{(2u^2+3)10u}{(6u^2+5u-6)(u^2-1)^2}~du$

$=-\int\dfrac{(2u^2+3)10u}{(3u-2)(2u+3)(u+1)^2(u-1)^2}~du$

$=\int\left(-\dfrac{5}{2(u+1)^2}-\dfrac{5}{2(u-1)^2}+\dfrac{11}{2(u+1)}+\dfrac{13}{2(u-1)}-\dfrac{144}{13(2u+3)}-\dfrac{252}{13(3u-2)}\right)~du$ (según http://www.wolframalpha.com/input/?i=-((2u%5E2%2B3)10u)%2F((3u-2)(2u%2B3)(u%2B1)%5E2(u-1)%5E2)%2F((3u-2)(2u%2B3)(u%2B1)%5E2(u-1)%5E2)) )

$=\dfrac{5}{2(u+1)}+\dfrac{5}{2(u-1)}+\dfrac{11\ln(u+1)}{2}+\dfrac{13\ln(u-1)}{2}-\dfrac{72\ln(2u+3)}{13}-\dfrac{84\ln(3u-2)}{13}+C$

$=\dfrac{5u}{u^2-1}+\dfrac{11\ln(u+1)}{2}+\dfrac{13\ln(u-1)}{2}-\dfrac{72\ln(2u+3)}{13}-\dfrac{84\ln(3u-2)}{13}+C$

$=\sqrt{x^2+5x}+\dfrac{11}{2}\ln\dfrac{x+\sqrt{x^2+5x}}{x}+\dfrac{13}{2}\ln\dfrac{\sqrt{x^2+5x}-x}{x}-\dfrac{72}{13}\ln\dfrac{3x+2\sqrt{x^2+5x}}{x}-\dfrac{84}{13}\ln\dfrac{3\sqrt{x^2+5x}-2x}{x}+C$

Answer 4

Todas estas respuestas son tan estupendamente complicadas yo! aquí hay un método mucho mejor: como se ha dicho, tenemos que tratar con la integral de 1/(sqrt(x^2+5x)+6) escribe x^2+5x= (x+5/2)^2 - (5/2)^2 ahora sustituye x+5/2 = 5y/2 ahora, nuestro objetivo principal después de sacar las constantes se convierte en la integral de 1/(sqrt(y^2 - 1) + 12/5) poner arcsecy= z o y= secz por lo que la integral después de deshacerse de las constantes es secz.tanz/(tanz + a) donde a = 12/5. ahora, aquí viene el paso del genio: secz.tanz/(tanz + a)= secz - asecz/(tanz + a). si no este prob era extremadamente duro. Obviamente ya conocemos la integral de secz. Para secz/(tanz + a), escríbelo como 1/(sinz + acosz). ahora esta es la forma estándar que se puede resolver por cualquiera de los 2 métodos:

1. Sea 1= rcosq y a= rsinq y por tanto formando un término seno en el denominador.
2. O mejor aún, opta por la sustitución u= tan(z/2) (también conocida como la sustitución universal) y obtendrás una función racional estándar fácil que incluso un niño de 4 años puede integrar.