¿Cuáles son algunas conceptualizaciones que funcionan en matemáticas pero no son estrictamente verdaderas?

Question

Estoy teniendo una discusión con alguien que piensa que nunca es justificada a enseñar algo que no es estrictamente correcto. No estoy de acuerdo: a menudo, la pedagógicamente más eficiente manera de progresar es iterativa aprender y desaprender a lo largo del camino.

Estoy buscando ejemplos en matemáticas (y, posiblemente, de la física), donde los estudiantes son comúnmente enseñado algo que no es estrictamente cierto, pero funciona, al menos en cierta forma restringida, y es una buena manera de entender un concepto hasta que uno llega a una etapa más avanzada.

Answer 1

¿Qué tal este notorio un recuerdo de la escuela secundaria?

"$ $f(x) es sólo un nombre de fantasia por $y$".

Answer 2

Pensamiento de función delta de Dirac función funciona razonablemente bien hasta cierto punto. Por ejemplo, todo físico sabe que \int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega x}dx=2\pi\cdot\delta(\omega) $$, $$, pero sólo una pequeña parte de ellos realmente estudió la teoría de distribuciones.

Answer 3

Aquí están los dos falsos conceptos que se enseñan en los grados inferiores (explícita o implícitamente):

1) Cada plano de la figura tiene un área de. Niños de primaria, no se dice que algunas figuras no tienen área (o podría no tener un área, si se deja fuera el Axioma de Elección).

2) Un conjunto es una colección de objetos de la satisfacción de cualquier relación. (Algunos de escuela media a los libros evitar esto, siempre discutiendo establece dentro de un determinado conjunto universal, pero este enfoque sólo me hizo plantear preguntas incluso antes de que yo estudié formal de la teoría de conjuntos.)

Answer 4

• La multiplicación es una suma repetida. Por lo que $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=4$. Del mismo modo que la división es una resta repetida.
• Resolver la ecuación diferencial $$\dfrac{dy}{dx}=y$$ Fácil! Multiplicar ambos lados por $dx$, entonces $\dfrac{dy}{y}=dx$; ahora, la integración de ambos lados, $\ln{y}=x+C$. No sé cuántas personas entienden esta multiplicación por $dx$ (francamente, yo no). Incluso los estudiantes de la universidad (en mi universidad) tomar este paso para concedido. (Relevante: Es $\frac{dy}{dx}$ no es una proporción?)
• La cancelación truco: $\requieren{cancel}x\cdot y= y\cdot z\implica x\cdot\cancelar{y}=\cancelar{y}\cdot z\implica x=z$. La gente utiliza este 'truco' para demostrar que $1=2$, etc.

• Profesor de secundaria: la raíz Cuadrada de un número negativo no está definido. Por lo que $x^2+1=0$ no tiene raíces.

  Docente de escuela secundaria: definir $\sqrt{-1}=i$ y $x^2+1=0$ tiene dos raíces $x=-i,+i$.

• "$1/0$ es $\infty$" se Refieren a punto 5, de aquí, que esto es correcto.
• $\dfrac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y \, \partial x}=\dfrac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \, \partial y}$. Esto no puede ser falso en la Electrodinámica.
• $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\cdots =2$. La igualdad es un poco confuso. Es más bien debe ser considerado como un límite de la suma (o el límite de las sumas parciales).
• $\sqrt{mn}=\sqrt{m}\cdot\sqrt{n}$. Esto sólo es verdadera cuando al menos una de $m$ y $n$ es positivo. Este 'truco' puede ser usado para demostrar que $1=\sqrt{1\cdot 1}=\sqrt{-1 \cdot -1}=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=i^2=-1$.

Answer 5

Me sorprende que nadie menciona las raíces cuadradas antes: tengo 17 años y he sido siempre le dijo a la raíz cuadrada de un número negativo no existe y no puede ser tomado. Estoy interesado en las matemáticas, así que sé que esto es falso (aunque yo no sé realmente lo que los números imaginarios son).

No enseñar esto al principio tiene sentido, porque cuando uno aprende de las raíces cuadradas uno en general no está listo para los números imaginarios. (Hasta que usted está en la escuela secundaria en mi humilde opinión - a pesar de que las clases de matemáticas que me tome no y no los cubren.¹)

_{1: donde yo vivo se pueden elegir tres tipos de matemáticas: a, B y C, donde a es la mayoría de las estadísticas y los destinados a las personas no es muy buena o interesados en las matemáticas, la C es una versión simplificada de Una de las personas que son muy malos para las matemáticas y B es 'real' de las matemáticas, pesado en álgebra y probando cosas, creo que con la B te gustaría aprender acerca de los números imaginarios. (Como se señaló en los comentarios, si B no es suficiente matemáticas para que usted puede elegir de Matemáticas D como una especie de complemento. Básicamente, la elección de D significa más difíciles de las matemáticas, en la parte superior de la regular B programa.) Tuve que elegir Una, porque de lo contrario no habría sido capaz de elegir ciertos otros temas (a pesar de que me aconsejaron a mi profesor de matemáticas para tomar B, elegí estos otros temas más difíciles de las matemáticas - mi error).}