unicidad de grupos en una secuencia exacta

Question

Me preguntaba cómo único son los grupos que componen a una secuencia exacta. Supongamos que tenemos tres grupos de $A, B, C$ de manera tal que la secuencia $$ Un \rightarrow B \rightarrow C $$ es exacto. Yo quería saber cómo diferentes grupos de $B$ están allí para grupos fijos $A$$C$. Después de algunas de búsqueda en la web he llegado a entender que esto es algo que se llama un grupo de extensión del problema y que el grupo $B$ no necesitan ser únicos en general. Por lo tanto mi pregunta es: ¿y si tuviéramos que añadir algunos de los supuestos? Vamos a decir que todos los grupos son abelian, y tal vez añadir un poco más de los elementos de la secuencia: $$A_1 \rightarrow A_2 \rightarrow ... \rightarrow A_{n-1} \rightarrow A_n $$ es, entonces, el grupo $A_{n-1}$ único hasta un isomorfismo? Lo que si vamos a empezar con un 0? $$0 \rightarrow A_1 \rightarrow A_2 \rightarrow ... \rightarrow A_{n-1} \rightarrow A_n $$ Por último, ¿qué tal si terminamos y empezamos con un 0? $$0 \rightarrow A_1 \rightarrow A_2 \rightarrow ... \rightarrow A_{n-1} \rightarrow A_n \rightarrow 0$$ En general, existen suficientes condiciones conocidas para hacer un grupo que aparecen en una secuencia exacta único?

editar - se olvidó de mencionar - a lo largo de toda la cuestión supongo que, por supuesto, a todos los grupos de $A_i$ $i \not= n-1$ fijo

Answer 1

Respuestas cortas

P1: Supongamos $A,C$ se dan abelian grupos. Que los grupos de $B$ puede caber dentro de una secuencia exacta $A\to B \to C$?

A1: Un montón! Todo esto significa es que el $B$ tiene un subgrupo $K=\operatorname{im}(A\to B)$, de modo que $B/K$ es isomorfo a un subgrupo $Q =\operatorname{im}(B\to C)$$C$. Por lo que estamos buscando $B$ tal que $B$ tiene un subgrupo $K$ isomorfo a un cociente de $A$ $B/K$ isomorfo a un subgrupo de $C$. Por ejemplo, si $A \cong \mathbb{Z}[x]$ $C \cong \mathbb{R}[x]/\mathbb{Z}[x]$ $B$ puede ser cualquier contables abelian grupo.

P2: Supongamos que tenemos una secuencia más larga, con ninguno de los mapas fijo. ¿Qué puede $A_{n-1}$?

A2: mucho! La posible $K$ están restringidos en una forma complicada, pero por lo demás no hay ningún cambio. Cualquier $B=A_{n-1}$ con uno de los posibles $K$ tal que $B/K$ es isomorfo a un subgrupo de $C=A_n$.

P3: Supongamos que ponemos 0 en el inicio. ¿Qué puede $A_{n-1}$?

A3: Sin cambio real, a menos que $n$ es muy pequeña.

P4: Supongamos que ponemos 0 en el inicio y el final. ¿Qué puede $A_{n-1}$?

A4: Ahora es más restringido, $B/K$ ya no es una arbitraria subgrupo de $C$, debe ser todos los de $C$.

Q4a: Si $n=3$?

A4a: Además, si $n=3$,$K\cong A_1 = A_{n-2}$, por lo que sabemos tanto $K$$B/K$, pero no $B$. Este es exactamente el problema con la extensión. Es resuelto por Ext más o menos. Voy a escribir acerca de ello por separado.

P5: Si $n > 4$, pero los mapas son fijos?

A5: En ese caso, sólo nos preocupa sobre el mapa de $A_{n-3} \to A_{n-2}$ y el grupo de $A_{n-2}$$A_n$. El resto es irrelevante, ya que la exactitud nos da ese $\ker(A_{n-2} \to A_{n-1}) = \operatorname{im}(A_{n-3} \to A_{n-2})$, por lo que tenemos un inyectiva mapa de $A_{n-2}/\operatorname{im}(A_{n-3} \to A_{n-2}) \to A_{n-1}$.

En otras palabras, en este caso estamos equivalente a $n=3$ $$0 \to A_{n-2}/\operatorname{im}(A_{n-3} \to A_{n-2}) \to A_{n-1} \to A_n \to 0.$$

P6: ¿y si en vez de mirar para$A_{n-1}$, $A_n$ $0 \to A_1 \to \ldots \to A_{n-1} \to A_n \to 0$

A6: a Continuación, nos están diciendo que $A_n = A_{n-1} / \operatorname{im}(A_{n-2} \to A_{n-1})$, por lo que es único, si el mapa es fijo. Obviamente, si ustedes permiten que el mapa para variar, se obtienen diferentes grupos cociente de $A_{n-1}$.

Ext

Ext se define exactamente a la medida de las formas posibles de rellenar $0 \to A \to B \to C \to 0$$A$$C$. Todos estos extensión de formar un grupo abelian $\operatorname{Ext}(C,A)$ bajo Baer, además. El único momento que existe un único tal extensión (hasta el isomorfismo de las extensiones, que es un poco más fino que el isomorfismo de grupos), es al $\operatorname{Ext}(C,A)=0$.

Para finitely generado abelian grupos, Ext y MCD son aproximadamente de la misma, Ext es sólo bilineal: $$\operatorname{Ext}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/(\gcd(m,n)\mathbb{Z})$$ and $$\operatorname{Ext}(A\oplus B,C \oplus D) = \operatorname{Ext}(A,C) \oplus \operatorname{Ext}(A,D) \oplus \operatorname{Ext}(B,C) \oplus \operatorname{Ext}(B,D)$$

Ejemplo de la no-unicidad

Obviamente, si dos números tienen un factor común tenemos distinto de cero ext: Por ejemplo 0 y $n=d\cdot f$ tienen un montón de factores comunes, y cada uno común factor $f$ da una diferente $B$:

$$0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{x \mapsto (dx,-x+f\mathbb{Z})} \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/f\mathbb{Z} \xrightarrow{(x,y+f\mathbb{Z})\mapsto x+dy+ df\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/(df)\mathbb{Z} \to 0$$

Advertencia

Si $A$ $C$ son patológicos, a continuación, $B$ puede ser única hasta el isomorfismo aunque $\operatorname{Ext}(C,A) \neq 0$. Vamos a considerar un relativizada versión donde $B$ es cualquier grupo abelian satisfacer $4B=0$ (esto se llama trabajar mod 4). Tomaremos $A=C=(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{(\infty)}$. A continuación, $\operatorname{Ext}(C,A) = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{(X)} \neq 0$ para algunos uncountably conjunto infinito $X$. Sin embargo, todas las maneras diferentes de poner $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ juntos darle una $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ (de los cuales hay infinitamente muchos) o $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (de los cuales hay infinitamente muchos). Así que no puede decir (utilizando isomorfismo de abelian grupos) cual de las dos opciones se hizo cada vez. Ejemplos deben también existir sin la restricción de que el $4B=0$, es simplemente más difícil para mí pensar en ellos o hacer explícitos los cálculos.