Simplificando$a(a-2) = b(b+2)$

Question

He reducido un número teoría problema para encontrar todos los pares ordenados $(a,b)$ que satisfacen la ecuación de $a(a-2) = b(b+2)$ en un cierto rango. Después de pensar en esto por un tiempo, pensé que ya sea $a = b + 2$, $a = -b$, $a = b = 0$ o $a = 2 \text{ and } b = -2$. Es fácil probar que estos valores de $a$ $b$ todos satisfagan la ecuación, pero ¿cómo puedo resolver esta ecuación si yo no hubiera llegado con estas soluciones? Y ¿cómo sé que no me pierda? En resumen, esta ecuación puede resolverse (más rigurosamente?

Editar: Tonto de mí, no he de reconocer que mis últimos dos soluciones ya estaban cubiertos por mis dos primeros.

Answer 1

Agregue$1$ a ambos lados para obtener$$a^2 - 2a + 1 = b^2 + 2b + 1$ $ ie$$(a-1)^2 = (b+1)^2.$ $

Por lo tanto,$a-1 = b+1$ o$a-1 = -b-1$ y todas estas son soluciones.

Answer 2

Denota$c=b+2$. Entonces$(a-1)^2=(c-1)^2$ etc.

Answer 3

Otro enfoque es notar que$a=b+2$ es una solución "obvia", luego dividir por esa solución: $$ \ frac {a (a-2) -b (b +2)} {a- (b +2)} = a + b $$ dando$a(a-2)-b(b+2)=(a-(b+2))(a+b)$. Por lo tanto, las soluciones son $$ a = b +2 \ quad \ text {y} \ quad a = -b $$

Answer 4

$a(a - 2) = b(b + 2)$

$a^2 - 2a = b^2 + 2b$

$a^2 - b^2 = 2(b + a)$

$(a + b)(a - b) = 2(a + b)$

$(a + b)(a - b - 2) = 0$

Answer 5

Poner$\, b=x.\, f(x) = x^2\!+\!\color{#c00}2x = a^2\!-\!2a= f(-a)$ tiene raíces$x=-a,\ x'\!=a\!-\!2,$ por$\, x\!+\!x'\!=-\color{#c00}2.$