¿Cómo encontrar esta suma$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}|n-2k|$ de forma cerrada o comportamiento asintótico?

Question

Encuentre la siguiente serie de forma cerrada o comportamiento asintótico

ps

Yo uso wolfram no puedo dar la forma cerrada: ver wolfram , ¿así que creo que puede encontrar la expansión asintótica?

Creo que este problema es equivalente a find following closed (o comportamiento asintótico) \begin{align*} &\sum_{k=0}^{[n/2]}\binom{n}{k}(n-2k)+\sum_{k=[n/2]+1}^{n}\binom{n}{k}(2k-n)\\ &=n\left(\sum_{k=0}^{[n/2]}\binom{n}{k}-\sum_{k=[n/2]+1}^{n}\binom{n}{k}\right)-2\left(\sum_{k=1}^{[n/2]}k\binom{n}{k}-\sum_{k=[n/2]+1}^{n}k\binom{n}{k}\right)\\ &=-2\left(\sum_{k=1}^{[n/2]}k\binom{n}{k}-\sum_{k=[n/2]+1}^{n}k\binom{n}{k}\right)\\ \end {align *}

Answer 1

Aquí hay un comportamiento asintótico muy básico: Permita que$X_{1}, X_{2}, \cdots$ sea simétrico en ensayos de Bernoulli con$\Bbb{P}(X_{i} = 1) = \Bbb{P}(X_{i} = -1) = 1/2$. Luego, para$S_{n} = X_{1} + \cdots + X_{n}$ tenemos

ps

Del teorema del límite central, se deduce que$$ \frac{1}{2^{n}} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} |n - 2k| = \Bbb{E}|S_{n}|. $ para una variable aleatoria normal estándar$S_{n}/\sqrt{n} \Rightarrow Z$. Entonces tenemos la siguiente relación asintótica

ps

Answer 2

$$ \begin{align*} \sum_{k=0}^n\binom{n}k|n-2k|&=2\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}k(n-2k)\\\\ &=2\left(n\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}k-2\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}k\binom{n}k\right)\\\\ &=2n\left(\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}k-2\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n-1}{k-1}\right)\\\\ &=2n\left(\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\left(\binom{n}k-\binom{n-1}{k-1}\right)-\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n-1}{k-1}\right)\\\\ &=2n\left(\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n-1}k-\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n-1}{k-1}\right)\\\\ &=2n\left(\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n-1}k-\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor-1}\binom{n-1}k\right)\\\\ &=2n\binom{n-1}{\lfloor n/2\rfloor}\;. \end {align *} $$

No importa si$n$ es impar o par: si$n$ es par, el término$k=\frac{n}2$ es cero de todos modos.