un caso en el que la contracción de un ideal principal es principal

Question

Dejemos que $K$ sea un campo y $R_1,\cdots,R_n$ DVRs de $K$ con $m_i$ el ideal máximo de $R_i$ . Definir $A=\cap R_i$ . Entonces $A$ es semilocal con ideales máximos $p_i=m_i \cap A$ . También, $A_{p_i} = R_i$ .

Pregunta: ¿Cómo podemos ver que $p_i$ ¿es principal?

Mi esfuerzo: ciertamente $m_i$ es principal y en vista del isomorfismo $A_{p_i} \cong R_i$ tenemos $p_i A_{p_i} = m_i = x_i A_{p_i}$ y podemos tomar $x_i$ para estar en $A$ . Entonces $x_i$ está dentro $p_i$ . Ahora, por cada $y \in p_i$ tenemos $y s = a x_i$ con $s$ no dentro $p_i$ . Hasta ahí llegué.

Referencia: Teorema 12.2 de Matsumura. Nota: El argumento de Matsumura no me queda claro.

Answer 1

Nota: Esto se ha editado para corregir un error señalado por YACP en los comentarios más abajo.

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Dejemos que $J := p_1 \cap \cdots \cap p_n$ ; este es el radical de Jacobson de $A$ . Obsérvese que la inclusión $J p_1 \subset p_1^2 \cap p_2 \cap \cdots \cap p_n$ es una igualdad (comprobar después de localizar en cada $p_i$ ). Así, el Teorema del Resto Chino muestra que $p_1/J p_1 \cong p_1 /p_1^2 \times A/p_2 \times \ldots \times A/p_n,$ que es $\cong m_1/m_1^2 \times A/p_2 \times \ldots \times A/p_n$ , y por tanto es un módulo cíclico. (Si $C_i$ es una colección de módulos cíclicos sobre los anillos $A_i$ entonces $\prod C_i$ es cíclico sobre $\prod A_i$ (un generador cíclico se da tomando un producto de generadores cíclicos). Por Nakayama, vemos que $p_1$ es cíclico, es decir, un ideal principal. El mismo argumento se aplica a cada $p_i$ .

Algunos detalles más añadidos a petición de la OP: $p_1$ , $p_2$ etc. son ideales maximales distintos ideales, por lo que cada par $p_i, p_j$ ( $i \neq j$ ) genera el ideal unitario. Entonces $p_1^2, p_2,\ldots, p_n$ tienen la misma propiedad, por lo que CRT da $A/Jp_1 = A/(p_1^2 \cap p_2 \cap \cdots \cap p_n) = A/p_1^2 \times A/p_2 \times \cdots A/p_n.$

Así, la imagen de $p$ en $A/ J p_1,$ que es igual a $p_1/J p_1$ , es igual al ideal generado por $p_1$ en el producto. En cada $A/p_i$ ( $i > 1$ ) tenemos $p_1$ genera el ideal unitario, y así vemos que $p_1 / J p_1$ es igual a $p_1/p_1^2 \times A/p_2\times \cdots \times A/p_n$ como se ha reclamado.

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Una variación de esto es la siguiente: un dominio Dedekind con sólo un número finito de ideales primos es necesariamente un DIP, por el mismo argumento del Teorema Chino del Resto. Nótese que esto da una prueba de la infinitud de los primos: si fuera falso entonces, por la teoría general de dominios de Dedekind, cada anillo de enteros algebraicos volvería a tener sólo un número finito de ideales primos, y por tanto sería un PID. Pero, por ejemplo $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ se comprueba fácilmente que no es un PID, por lo que en realidad debe haber infinitos primos. (Esta prueba se debe a Larry Washington, ver aquí .)