Rotación$x \to x+a \pmod 1$ del círculo es Ergodic si y solo si$a$ es irracional

Question

Tengo un libro, Ergodic problemas de la mecánica clásica por Arnold/Avez, y en el que demuestran que la rotación $Tx = x+a \pmod 1$ de la circunferencia $M=\{x \pmod 1\}$ es Ergodic si y sólo si a es irracional. En ella se utiliza un anterior corolario de que un sistema es ergodic si y sólo si cualquier invariante medibles absolutamente integrable función es una constante.e. Por lo que el inicio de la prueba va como esto:

Supongamos $a$ es racional, entonces escribir $a=p/q$, $p,q$ coprime. Desde $e^{2\pi qx}$ es no constante y medible, $T$ no es ergodic.

Esto está muy bien, pero entonces ¿cómo es que yo no puede hacer un argumento similar para irracional $a$? Como en: Supongamos $a$ es irracional, entonces $e^{2\pi x/a}$ es no constante, y parece ser medibles y absolutamente integrable.

¿Qué hice mal?

Answer 1

Te refieres $e^{2 \pi i q x}$. El punto es que esta es una función mensurable no constante en el círculo que es invariable bajo$T$ . Pero si$a \in (0,1)$ es irracional,$e^{2 \pi i x/a}$ no es invariable en$T$: si$Tx = x + a - 1$, como lo es cuando$x + a > 1$, luego$$e^{2 \pi i T(x)/a} = e^{2 \pi i (x+a-1)/a} = e^{2 \pi i x/a} e^{-2 \pi i/a} \ne e^{2 \pi i x/a}$ $