Problema en la integración indefinida

Question

$$ f(x) = \int\frac{x^2}{(1+x^2)(1 + \sqrt{1+x^2})}dx donde$f(0)=0$, encuentra$f(1)$.

A pesar de muchos intentos al tomar $$\sqrt{1+x^2}=t $ $ o$$ 1+\sqrt{1+x^2}$$ as $t$, no pude resolverlo.

Answer 1

INSINUACIÓN:

Dejar $x=\tan t$

ps

ps

Ver también : esto

Answer 2

Insinuación:

ps

Espero que puedas tomarlo desde aquí.

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $$\begin{align} \mrm{f}\pars{x} & \equiv \int{x^{2} \over \pars{1 + x^{2}}\pars{1 + \root{1 + x^{2}}}}\,\dd x \end{align}$$

Con La Sustitución De Euler

$$x = {1 - t^{2} \over 2}\,\qquad t = \raíz{1 + x^{2}} - x$$ $\ds{\mrm{f}\pars{x}}$ se convierte en $$\begin{align} \mrm{f}\pars{x} & = \int\pars{-\,{1 \over t} + {2 \over t^{2} + 1}}\,\dd t = -\ln\pars{t} + 2\arctan\pars{t} \\[5mm] & = 2\arctan\pars{\root{1 + x^{2}} - x} - \ln\pars{\root{1 + x^{2}} - x} + \pars{~\mbox{a constant}~} \end{align}$$