Estado de la topología PL

Question

Estoy empezando a aprender sobre topología geométrica y teoría de colectores. Sé que hay tres grandes categorías importantes de colectores: topológicos, lisos y PL. Pero estoy viendo que mientras que las variedades topológicas y lisas son ampliamente estudiadas y hay toneladas de libros sobre ellas, la topología PL parece ser mucho menos popular hoy en día. Además, he visto en algún sitio la afirmación de que la topología PL no es hoy en día tan útil como antes para estudiar las variedades topológicas y lisas, debido a las nuevas técnicas desarrolladas en esas categorías, pero no he visto que se explique con detenimiento.

Mi primera pregunta es: ¿es correcta esta sensación sobre la topología del PL? Si es así, ¿a qué se debe? (Si se debe a las nuevas técnicas, me gustaría saber cuáles son).

Mi segunda pregunta es: si me interesa principalmente la topología y los colectores lisos, ¿merece la pena aprender topología PL?

También me gustaría saber algunos problemas abiertos importantes en el área, en qué problemas están trabajando los matemáticos en este campo actualmente, y algunas referencias recomendadas (libros de texto) para un principiante. He visto que los libros más citados sobre el área son de los años 60 o 70. ¿Hay algún libro de texto más moderno sobre el tema?

Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que he visto una pregunta similar a esta en MO, pero no estoy seguro, no la encuentro tan rápido. También puede ser que mi siguiente respuesta sea errónea, ya que también estoy empezando a aprender sobre la topología de PL, pero lo que he entendido es lo siguiente:

Las variedades PL se sitúan en algún punto entre las topológicas y las lisas, por lo que se esperaba poder decir algo sobre cualquiera de ellas estudiándolas (si algo es válido para las variedades PL, puede descender a las lisas, y si algo no es válido para las topológicas, quizá sí lo sea para las PL). Esto se ha estudiado ampliamente durante los años sesenta y setenta, surgiendo varios problemas principales, principalmente en relación con las triangulaciones y la "Hauptvermutung". Sin embargo, los principales problemas se han resuelto (véase http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/libros/haupt.pdf y los artículos de Kirby-Siebenmann), lo que no hace que la investigación en esta dirección sea relativamente poco interesante.

Sin embargo, eso no significa que no haya que estudiar los colectores PL. Yo mismo soy relativamente nuevo en topología, pero tengo la sensación de que al entender los manifiestos PL, podré tanto entender más los aspectos históricos de los manifiestos topológicos y lisos, como ser capaz de entenderlos mejor. Una vez que se conoce un poco sobre los manifiestos que entran en una categoría pero no en la otra, creo que es justo decir que uno sabe un poco más sobre los manifiestos en general. Sin embargo, puede llevar algún tiempo.

En cuanto a las referencias para aprender los colectores PL que no son de los años 60 y 70, acabo de publicar esta pregunta ( Normas en topología P.L. ) y espero que se encuentre algún resultado útil.