Como este es un buen resultado y la gente preguntó cómo demostrarlo en los comentarios, permítanme proporcionar una prueba de un resultado algo más fuerte.
Nota: Un espacio localmente compacto es metrizable si y sólo si es segundo contable (por lo tanto separable) por la Teorema de metrización de Urysohn . Sin embargo, existen espacios compactos separables no metrizables (por ejemplo, el Compactación de la piedra $\beta\mathbb N$ de $\mathbb{N}$ ).
Un espacio metrizable $X$ es compacto si y sólo si toda métrica compatible está acotada.
Si $X$ es compacto, entonces toda métrica compatible está acotada, ya que es una función continua en el espacio compacto $X \times X$ .
Si $X$ es no compacto, entonces contiene un cerrado subespacio $Y$ homeomorfo a $\mathbb{N}$ (elija una secuencia de puntos sin subsecuencia convergente, por lo tanto sin punto de acumulación). Elija una enumeración $\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ de $Y$ y definir $f: Y \to \mathbb{R}$ por $f(y_n) = n$ . Entonces $f$ es continua. Utilice el Teorema de la extensión de Tietze para ampliar $f$ a una función continua $F: X \to \mathbb{R}$ . Dada cualquier métrica $d$ en $X$ compatible con la topología, la métrica $d_F(x,y) = d(x,y) + |F(x)-F(y)|$ también es compatible.
¿Por qué? A $d_{F}$ -secuencia convergente es también $d$ -convergente desde $d \leq d_F$ . Por otro lado, un $d$ -La secuencia convergente converge con respecto a $d_F$ , como $d_F$ es continua con respecto a $d$ . Esto significa que $(X,d)$ y $(X,d_F)$ tienen los mismos conjuntos cerrados, por lo que la métrica $d$ y $d_F$ inducen la misma topología. Dado que $d_F(y_n, y_0) = d(y_n,y_0) + n \geq n$ la métrica $d_F$ no tiene límites.
No veo ninguna forma más fácil de demostrarlo. Se puede hacer este argumento un poco más explícito sustituyendo $F$ por una función explícita que depende de la métrica, pero poco se gana, salvo que la prueba se hace un poco más explícita y básica.
Como a Google no le gusto, no puedo ver el página 287 de la referencia de John M. al ejercicio 1.13 en K.D. Joshi, Introducción a la topología general New Age International, 1983, pero como Pierre-Yves ha tenido la amabilidad de transcribir los ejercicios en los comentarios, no veo la necesidad de reproducirlos aquí.
Has preguntado por las aplicaciones. Aquí debo decir que no se me ocurre nada interesante (no se me ocurre ningún ejemplo de un espacio en el que pueda comprobar que tiene la propiedad de que toda métrica compatible está acotada sin demostrar que es compacto antes).
Tal vez valga la pena mencionar la importante propiedad de limitación total . Un espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado. Esto se puede utilizar para muchos resultados de compacidad que implican espacios de funciones, por ejemplo, el importantísimo Teorema de Arzelà-Ascoli .
Por último, permítame elogiar a su amigo por haber encontrado esto. Es una hermosa observación, y parece haber impresionado a varias personas (incluida yo). Es un reflejo muy importante para preguntarse ¿y lo contrario? Tener la perseverancia de responder a esa pregunta de forma agradable y convincente es sin duda un signo de talento. Así que: ¡no hay que sentirse mal porque ya se sabía! Es impresionante que alguien pueda llegar a un resultado así con pocos conocimientos de topología.
En cuanto a la publicación, yo mostraría ese trabajo a uno de tus profesores, que tal vez podría indicarte una revista de matemáticas de la universidad y, lo que es más importante en mi opinión, podría estar interesado en apoyar más a tu amigo orientándole y asesorándole. También podría mirar La respuesta de amWhy aquí para algunas reflexiones y enlaces relacionados que pueden ser interesantes y útiles.
