Deje $F \subset K$ ser un campo de extensión de grado $n$, $F^n \cong K$ $F$- vectorspaces. Ahora $K^\times$ actúa en $F^n$, por la multiplicación por $K$, y por lo $K^\times$ incrusta en $GL_n(F)$, y cada una de Galois elemento da una automorphism de $K^\times$.
Pregunta: ¿en qué condiciones puede ser extendido a un automorphism de $GL_n(F)$? Cómo?
Cíclico de extensión, abelian extensión, solvalabe extensión, general de extensión?
Estoy interesada en el caso, donde $F$ es un campo local.
Ejemplo de $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$: arreglar un $\mathbb{R}$base $\\{ 1,i \\}$. El multipliaction por $a+ib$ corresponden a la matriz $$ \begin{pmatrix} a & -b \newline b & a \end{pmatrix}.$$ El Galois elemento es compleja conjugación y corresponde a la transposición en las anteriores matrices. Puede ser extendido para el grupo $GL_2(\mathbb{C})$?
Motivación: de hecho, estoy esperando una explicación de la Caley transformar introducido aquí en la página 2: http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?pg1=IID&s1=162025&vfpref=html&r=28&mx-pid=237707
